4、线性判别分析与相关问题解析

线性判别分析与相关问题解析

在模式识别和机器学习领域，线性判别是一种重要的分类方法。它通过超平面将空间分割，并为每个半空间分配不同的类别。这种方法具有诸多优势，易于解释和实现，且在许多成功的模式识别方法中处于核心地位。下面我们将详细探讨线性判别相关的理论和问题。

1. 线性判别规则概述

线性判别规则基于输入向量各分量的线性组合的符号进行决策。对于输入向量 $x = (x^{(1)}, \cdots, x^{(d)})$，决策规则为：
[
g(x) =
\begin{cases}
1, & \text{如果 } \sum_{i = 1}^{d} a_i x^{(i)} + a_0 > 0 \
0, & \text{否则}
\end{cases}
]
其中，$a_i$ 是权重，权重向量决定了各分量的相对重要性。在标准软件解决方案中，决策时间与维度 $d$ 成正比，甚至可以构建小型芯片实现几乎瞬时的决策。

Rosenblatt 在 1962 年意识到这种线性规则的巨大潜力，并将其称为感知器。随着新数据的到来，可以通过改变一个或多个权重，快速轻松地使权重适应新情况，从而实现类似于人类大脑的训练或学习。

2. 单变量判别与 Stoller 分割

2.1 理论 Stoller 分割

当 $X$ 是单变量时，最简单的线性判别规则是：
[
g(x) =
\begin{cases}
y’, & \text{如果 } x \leq x’ \
1 - y’, & \te