HDU－2824- The Euler function 解题报告

最新推荐文章于 2019-08-12 00:07:28 发布

原创最新推荐文章于 2019-08-12 00:07:28 发布 · 750 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#C++ #算法竞赛 #欧拉函数

本文介绍了一种高效的计算欧拉函数之和的方法，适用于给定区间内的数值。通过预先计算1至300万之间的所有欧拉函数值，再进行区间累加，解决了计算欧拉函数之和的问题。

The Euler function

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 5379 Accepted Submission(s): 2286

Problem Description

The Euler function phi is an important kind of function in number theory, (n) represents the amount of the numbers which are smaller than n and coprime to n, and this function has a lot of beautiful characteristics. Here comes a very easy question: suppose you are given a, b, try to calculate (a)+ (a+1)+....+ (b)

Input

There are several test cases. Each line has two integers a, b (2<a<b<3000000).

Output

Output the result of (a)+ (a+1)+....+ (b)

Sample Input

  
   3 100

Sample Output

Source

2009 Multi-University Training Contest 1 - Host by TJU

理解完这个算法后再看紫书p312就觉得很好懂了，太神了。。。。谁想出来的。。。下面详细地讲一遍。

首先，题中要求求a～b的欧拉函数之和，那么欧拉函数是什么呢？就是不超过该书的与它互素的数的个数，比如phi（4）＝2，因为1，3都与4互素。

不超时的解法是将1～3000000的欧拉函数都算出来，读入a，b时做累加就行了。

现在的问题是如何高效地求欧拉函数

这里要知道三个性质：

1、若一个素数为p，那么phi（p）= p－1

2、若一个数为素数的k次幂，那么phi（p）＝ p^－(p^k)／p（就是这个数本身减去能被p整除的个数）

phi(p) = (p-1)*(p^(k-1))

3、欧拉函数是积性函数，若m，n互质，φ（mn）= φ(m)φ(n)

那么就能得一个数

n＝(p1-1)(p2-1)(p3-1).....(pn-1)*(p^(k1-1))*(p^(k2-1))*(p^(k3-1))*.....(p^(kn-1))

（上下同乘以n，下方的n用p1*p2*p3....*pn表示）

＝k*(p1-1)(p2-1)(p2-1)...(pn-1)／p1*p2*p3*...*pn

根据上式能得出以下计算欧拉函数的程序

int vis[maxn];
void init(){
    int i,j;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(i=1;i<maxn;i++){
        vis[i]=i;
    }
    for(i=2;i<maxn;i++){
        if(vis[i]==i){
            for(j=i;j<maxn;j=j+i){
                vis[j]=(vis[j]/i)*(i-1);
            }
        }
    }
}

首先，将数组中从1到maxn赋值

如果vis［i］＝＝i 的话，说明这个值没有被改变过，那么这个数是素数

既然是素数，就做循环将以这个数为质因数的数做上面推倒出来的式子的处理（某数／p＊（p－1））

下为完整程序

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <cmath>
#define maxn 3000005
using namespace std;

int vis[maxn];
void init(){
    int i,j;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(i=1;i<maxn;i++){
        vis[i]=i;
    }
    for(i=2;i<maxn;i++){
        if(vis[i]==i){
            for(j=i;j<maxn;j=j+i){
                vis[j]=(vis[j]/i)*(i-1);
            }
        }
    }
}
int main(){
    long long a,b,result,i;
    init();
    while(cin>>a>>b){
        result=0;
        for(i=a;i<=b;i++){
            result=result+vis[i];
        }
        cout<<result<<endl;
    }
    return 0;
}