分组背包问题

本文探讨了如何通过扩展01背包问题,处理分组限制,利用二进制优化方法解决物品选择问题。代码实例展示了如何在给定物品分组和容量约束下,找到总价值最大的物品组合。尽管二进制法可能不直接适用,但提供了对问题结构的理解和潜在优化思路。

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有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。每组物品有若干个,同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 v i j v_{ij} vij,价值是 w i j w_{ij} wij,其中 i i i 是组号, j j j 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包,可使物品总体积不超过背包容量,且总价值最大。出最大价值。

题目很清晰,就是01背包的变种,就是将物品分组,每组中只能选一个。这样一来,参考01背包的模板,事情就变得异常简单,不过就是再套一层循环。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAX 1010
using namespace std;
int f[MAX];
int v[MAX], w[MAX];
int N, V;

int main()
{
	cin >> N >> V;
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		int s; cin >> s;
		for (int j = 0; j < s; j++)
			cin >> v[j] >> w[j];
		for (int j = V; j >= 0; j--)
			for (int k = 0; k < s; k++)
				if(j>=v[k])
				f[j] = max(f[j], f[j - v[k]] + w[k]);
	}
	cout << f[V] << endl;
	return 0;
}

至于简化。。。自行解决 (就是还没有做出来)
二进制优化法好像不太好用。。。。。

又水了一篇,嘻嘻。。。

### 分组背包问题概述 分组背包问题背包问题的一种变体,在这种情况下,物品被分为若干每组中的物品互斥,即在同一内只能选择一件物品加入背包。目标是在不超过给定容量的情况下最大化所选物品的总价值。 对于分组背包问题,通常会遇到以下参数: - **N** 物品 - 每一中有多个不同重量价值的物品可供选择 - 背包的最大承重 W 为了更好地理解这一概念,下面提供了一个具体的例子及其对应的测试用例[^1]。 ### 示例与测试用例 #### 输入格式 输入的第一行为三个整数 N, M V (1 ≤ N ≤ 100),分别表示有多少类别的物品、总的物品数量以及背包的最大承载量;接下来M行,每一行包含四个整数 g_i, w_i, v_i 表示该物品所属类别编号g_i(从1开始计), 物品重量w_i, 物品价值v_i; 接下来的一行给出一个长度为N的列表G[] ,其中 G[j]=k 表明第 j 类物品共有 k 种不同的选项可选。 #### 输出格式 输出仅有一行,代表能够获得的最大价值。 #### 示例数据集 ##### 测试案例 1: ```plaintext Input: 3 6 10 1 2 3 1 3 4 2 4 5 2 5 6 3 1 2 3 2 3 2 2 2 Output: 9 ``` 解释:在这个例子中,选择了来自第一一个物品(权重=3,价值=4)、第二一个物品(权重=5,价值=6)第三一个物品(权重=2,价值=3)。这些加起来刚好等于最大允许载荷10,并且提供了最高的可能总价值9。 ##### 测试案例 2: ```plaintext Input: 4 8 15 1 2 3 1 3 4 2 4 5 2 5 6 3 1 2 3 2 3 4 7 8 4 8 9 2 2 2 2 Output: 17 ``` 这个实例展示了当存在更多种类别的时候应该如何处理。这里选取了最优合使得最终得分达到最高——即17分。 通过上述的例子可以看出,解决这类问题的关键在于合理规划各之间的取舍关系,从而实现全局最优化的目的。
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