Dijkstra算法 ——四人过桥

有一天晚上，有四个人需要通过架在山谷间的危桥，任意时刻最多只能有两个人在桥上，过桥需要一盏闪光灯，这些人只有一盏闪光灯。如果单独过桥他们分别需要10、5、2、1分钟，如果两人同时过桥则所需时间是较慢者所需的时间。18分钟后，沿山谷滚滚而下的山洪将把这座桥冲毁。这四个人能及时过桥吗？不用图论知识，证明你的结论；并说明如何用图论知识获得答案。

证明：只有一只手电筒,并且过桥时必须要用到手电筒,唯一的办法就是让2个人一起过桥，然后让其中的一个在返回来送手电筒,从桥上走一来回的结果是可以让1个人通过.当2个人一起过桥时,总是最慢的1个人决定过桥的速度。把这几个人按照花费时间的由多到少编号为D,C,B,A.。D的10分钟肯定要花费，其他三人只能用7分钟，为了让时间最少，D和C肯定得一起过，并且回来的时候不能用C或D，所以

1. 一开始应该让A和B先过  2分钟；

2. 然后A回来，让C和D过去  1+10分钟；

3. B回来，A和B一起过去 2+2分钟。

 总用时为：2+1+10+2+2=17分钟，即这四个人在18分钟内及时能过桥。

用图论知识，可以以4个人在桥两端的状态来作为节点来构造一个有向图，以已经过桥了的人的状态作为图的节点，初始时没有人过桥，所以以空表示，第一轮有两个人过桥，有6种可能的组合，(1，2)（1，5）（1，10）（2，5）（2，10）（5，10），从空的状态转换到这些状态的需要的时间分别为2，5，10，5，10，10分钟，时间就作为有向边的权值。当有两个人过桥后，需要一个人拿手电筒回去接其他人，这时有四种可能的情况，分别是1，2，5，10中的一人留在了河的对岸，（1，2）这种状态只能转换到（1）（2）两种状态，对应的边的权值分别为2，1分钟，（1，2）转换到（1）时也就是2返回了，返回需要耗时2分钟，以此类推可以建立图论模型。

要求出最少需要多长时间4人全部通过小桥实际上就是在图中求出（空）节点到（1，2，5，10）节点间的最短路径。最后可用Dijkstra算法求出最短路径。

Dijkstra算法是典型的最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等。

Dijkstra算法思想为：设G=（V，E）是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径，就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

（1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或（若u不是v的出边邻接点）。

（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

（4）重复步骤（2）和（3），直到所有顶点都包含在S中。

 

Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻发现的。算法解决的是有向图中最短路径问题。

举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离。 Dijkstra算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。

Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。 我们以V表示G中所有顶点的集合。图中的每一个边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u,v)表示从顶点u到v有路径相连。 假设E为所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E → [0, ∞]定义。 因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值(cost)。 边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。 已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径(i.e. 最短路径)。 这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。

算法描述

  这个算法是通过为每个顶点v保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时，源点s的路径长度值被赋为0（d[s]=0）， 同时把所有其他顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于V中所有顶点v除s外d[v]= ∞）。当算法结束时，d[v]中储存的便是从s到v的最短路径，或者是无穷大（如果路径不存在的话）。

   Dijstra算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从u到v的边，那么从s到v的最短路径可以通过将边(u,v)添加到s到u的尾部来拓展。这条路径的长度是d[u]+w(u,v)。如果这个值比目前已知的d[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前d[v]中的值。拓展边的操作一直执行到所有的d[v]都代表从s到v最短路径的花费。这个算法经过适当的组织因而当d[u]达到它最终的值的时候，每条边(u,v)都只被拓展一次。

算法维护两个顶点集S和Q。集合S保留了我们已知的所有d[v]的值已经是最短路径的值顶点，而集合Q则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空，而 后每一步都有一个顶点从Q移动到S。这个被选择的顶点是Q中拥有最小的d[u]值的顶点。当一个顶点u从Q中转移到了S中，算法对每条外接边(u,v)进 行拓展。

算法思想

设S为最短距离已确定的顶点集（看作红点集），V-S是最短距离尚未确定的顶点集（看作蓝点集）。
①初始化
    　初始化时，只有源点s的最短距离是已知的(SD(s)=0)，故红点集S={s}，蓝点集为空。
②重复以下工作，按路径长度递增次序产生各顶点最短路径
    　在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集，以保证按路径权重递增的次序来产生各顶点的最短路径。
    　当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点，或者所有蓝点已扩充到红点集时，s到所有顶点的最短路径就求出来了。
  注意：
    　①若从源点到蓝点的路径不存在，则可假设该蓝点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。
    　②从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径；s到v的最短路径长度简称为v的最短距离，并记为SD(v)。
（3）在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集
    　根据按长度递增序产生最短路径的思想，当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是：
    　源点，红点1，红点2，…，红点n，蓝点k
 距离为：源点到红点n最短距离+<红点n,蓝点k>边长
    　为求解方便，设置一个向量D[0．．n-1]，对于每个蓝点v∈ V-S，用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点(若有中间点，则必为红点)的"最短"路径长度（简称估计距离）。
    　若k是蓝点集中估计距离最小的顶点，则k的估计距离就是最短距离，即若D[k]=min{D[i] i∈V-S}，则D[k]=SD(k)。
    　初始时，每个蓝点v的D[c]值应为权w<s，v>，且从s到v的路径上没有中间点，因为该路径仅含一条边<s，v>。
  注意：
    　在蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点k来扩充红点集是Dijkstra算法的关键 

（4）k扩充红点集s后，蓝点集估计距离的修改
    　将k扩充到红点后，剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小，此时必须调整相应蓝点的估计距离。
    对于任意的蓝点j，若k由蓝变红后使D[j]变小，则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径：P=<s，…，k，j>。且D [j]减小的新路径P只可能是由于路径<s，…，k>和边<k，j>组成。
    　所以，当length(P)=D[k]+w<k，j>小于D[j]时，应该用P的长度来修改D[j]的值。

（5）Dijkstra算法

 Dijkstra(G，D，s){
    //用Dijkstra算法求有向网G的源点s到各顶点的最短路径长度
    //以下是初始化操作
      S={s}；D[s]=0； //设置初始的红点集及最短距离
      for( all i∈ V-S )do //对蓝点集中每个顶点i
          D[i]=G[s][i]； //设置i初始的估计距离为w<s，i>
       //以下是扩充红点集
      for(i=0;i<n-1;i++)do{//最多扩充n-1个蓝点到红点集
           D[k]=min{D[i]：all i V-S}； //在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k
           if(D[k]等于∞)
                return； //蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时，
                     //表示这些顶点的最短路径不存在。
           S=S∪{k}； //将蓝点k涂红后扩充到红点集
           for( all j∈V-S )do //调整剩余蓝点的估计距离
               if(D[j]>D[k]+G[k][j])
                //新红点k使原D[j]值变小时，用新路径的长度修改D[j]，
              //使j离s更近。
                   D[j]=D[k]+G[k][j]；
          }
   }