Super A^B mod C a^b%c=a ^(b%eular(c)+eular(c)) % c; b>=oula(c)

最新推荐文章于 2020-04-05 10:49:27 发布

kongming_acm

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分类专栏： acm_数学问题文章标签： c output integer each input 测试

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本文介绍了一种解决大数幂取模问题的有效算法，包括快速幂运算、欧拉定理应用、大数字符串处理等关键技术。通过具体的C++实现代码展示了如何高效地计算A的B次方模C的结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem D Super A^B mod C

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Problem Description

Given A,B,C, You should quickly calculate the result of A^B mod C. (1<=A,C<=1000000000,1<=B<=10^1000000).

Input

There are multiply testcases. Each testcase, there is one line contains three integers A, B and C, separated by a single space.

Output

For each testcase, output an integer, denotes the result of A^B mod C.

Sample Input

3 2 4 2 10 1000

Sample Output

1 24

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<ctime>
using namespace std;

//a^b%c=a ^(b%eular(c)+eular(c)) % c;

//求a，b的最大公约数
__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
//求a*b%c,因为a，b很大，所以要先将b写成二进制数，再加：例如3*7=3*(1+2+4);
__int64 mulmod(__int64 a,__int64 b,__int64 c)
{
    __int64 cnt=0,temp=a;
    while(b)
    {
        if(b&1) cnt=(cnt+temp)%c;
        temp=(temp+temp)%c;
        b>>=1;
    }
    return cnt;
}
//求a^b%c,再次将b写成二进制形式，例如：3^7=3^1*3^2*3^4;
__int64 powmod(__int64 a,__int64 b,__int64 c)
{
    __int64 cnt=1,temp=a;
    while(b)
    {
        if(b&1) cnt=mulmod(cnt,temp,c);//cnt=(cnt*temp)%c;
        temp=mulmod(temp,temp,c);//temp=(temp*temp)%c;
        b>>=1;
    }
    return cnt;
}
//Miller-Rabin测试n是否为素数,1表示为素数，0表示非素数
int pri[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
bool Miller_Rabin(__int64 n)
{
    if(n<2) return 0;
    if(n==2) return 1;
    if(!(n&1)) return 0;
    __int64 k=0,m;
    m=n-1;
    while(m%2==0) m>>=1,k++;//n-1=m*2^k
    for(int i=0;i<10;i++)
    {
        if(pri[i]>=n) return 1;
        __int64 a=powmod(pri[i],m,n);
        if(a==1) continue;
        int j;
        for(j=0;j<k;j++)
        {
            if(a==n-1) break;
            a=mulmod(a,a,n);
        }
        if(j<k) continue;
        return 0;
    }
    return 1;
}
//pollard_rho 大整数分解，给出n的一个非1因子，返回n是为一次没有找到
__int64 pollard_rho(__int64 C,__int64 N)
{
    __int64 I, X, Y, K, D;
    I = 1;
    X = rand() % N;
    Y = X;
    K = 2;
    do
    {
        I++;
        D = gcd(N + Y - X, N);
        if (D > 1 && D < N) return D;
        if (I == K) Y = X, K *= 2;
        X = (mulmod(X, X, N) + N - C) % N;
    }while (Y != X);
    return N;
}
//找出N的最小质因数
__int64 rho(__int64 N)
{
    if (Miller_Rabin(N)) return N;
    do
    {
        __int64 T = pollard_rho(rand() % (N - 1) + 1, N);
        if (T < N)
        {
              __int64 A, B;
              A = rho(T);
              B = rho(N / T);
              return A < B ? A : B;
        }
    }
    while(1);
}
//N分解质因数，这里是所有质因数，有重复的
__int64 AllFac[1100];
int Facnum;
void findrepeatfac(__int64 n)
{
    if(Miller_Rabin(n))
    {
        AllFac[++Facnum]=n;
        return ;
    }
    __int64 factor;
    do
    {
        factor=pollard_rho(rand() % (n - 1) + 1, n);
    }while(factor>=n);
    findrepeatfac(factor);
    findrepeatfac(n/factor);
}
//求N的所有质因数，是除去重复的
__int64 Fac[1100];
int num[1100];
int len;//0-len
void FindFac(__int64 n)
{
    len=0;
    //初始化
    memset(AllFac,0,sizeof(AllFac));
    memset(num,0,sizeof(num));
    Facnum=0;
    findrepeatfac(n);
    sort(AllFac+1,AllFac+1+Facnum);
    Fac[0]=AllFac[1];
    num[0]=1;
    for(int i=2;i<=Facnum;i++)
    {
        if(Fac[len]!=AllFac[i])
        {
            Fac[++len]=AllFac[i];//important
        }
        num[len]++;
    }
}
//求n的欧拉函数值
__int64 oula(__int64 n)
{
    FindFac(n);
    __int64 cnt=n;
    for(int i=0;i<=len;i++)
    {
        cnt-=cnt/Fac[i];
    }
    return cnt;
}
//枚举n的所有因子 cnt
/*__int64 Fac[1100];
int num[1100];
int len;//0-len
*/
__int64 yinzi[100000];
__int64 yinzinum;//初始化在main中(0-yinzinum-1)
void dfs(int id,__int64 cnt)
{
    yinzi[yinzinum++]=cnt;
    if(id==len+1)
    {
        return ;
    }
    __int64 temp=1;
    for(int i=0;i<=num[id];i++)
    {
        dfs(id+1,cnt*temp);
        temp*=Fac[id];
    }
}
__int64 Mod(char* B,__int64 ou)
{
    __int64 cnt=0;
    for(int i=0;B[i];i++)
    {
        cnt=(cnt*10+B[i]-'0')%ou;
    }
    return cnt;
}
__int64 _pow(__int64 A,__int64 X,__int64 C)
{
    if(X==0) return 1;
    if(X==1) return A%C;
    __int64 cnt=_pow(A,X/2,C);
    cnt=cnt*cnt%C;
    if(X&1) cnt=cnt*A%C;
    return cnt;
}
int main()
{
    __int64 A,C;
    char B[1100000];
    while(scanf("%I64d%s%I64d",&A,B,&C)==3)
    {
        __int64 ou=oula(C);
        __int64 X=Mod(B,ou);
        __int64 res=_pow(A,X+ou,C);
        printf("%I64d/n",res);
    }
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;

//a^b%c=a ^(b%eular(c)+eular(c)) % c;

char s[1000010];
bool is[20000];
int prm[30000];
int totleprm;
__int64 strmod(char *s,__int64 t)
{
    __int64 sum=0;
       int i,len=strlen(s);
       for(i=0;i<len;i++)
       {
              sum=sum*10+s[i]-'0';
              while(sum>=t) sum-=t;
       }
       return sum;
}

int getprm(__int64 n)
{
    int i, j, k = 0;
    int s, e = (int)(sqrt(0.0 + n) + 1);
    memset(is, 1, sizeof(is));
    prm[k++] = 2;
    is[0] = is[1] = 0;
    for (i = 4; i < n; i +=2) is[i] = 0;
    for (i = 3; i < e; i +=2) if(is[i])
    {
        prm[k++] = i;
        for (s = i * 2, j = i * i ; j < n; j +=s)
        is[j] = 0;
        }
    for (; i < n; i +=2)
    if (is[i])     prm[k++] = i;
    return k;
}

__int64 euler(__int64 n)
{
    int count = n;
    int i = 2;
    for(; i<=n; i++)
        if(n % i == 0)
        {
            count -= count / i;
            while(n % i == 0)
                n /= i;
        }
    return count;
}

__int64 product_mod(__int64 a,__int64 b,__int64 c)
{
    __int64 ret=0,tmp=a%c;
    while(b)
    {
        if(b&0x1)
            if((ret+=tmp)>=c)
                ret-=c;
            if((tmp<<=1)>=c)
                tmp-=c;
            b>>=1;
    }
    return ret;
}
__int64 power_mod(__int64 A, __int64 B, __int64 C)
{
    __int64 R = 1, D = A;
    while (B )
    {
        if (B&1) R = product_mod(R, D, C);
        D = product_mod(D, D, C);
        B >>=1;
    }
    return R;
}
__int64 phi[10000];
void euler(int maxn)
{
    int i;
    int j;
    for (i = 2; i <= maxn; i++)
    phi[i] = i;
    for (i = 2; i <= maxn; i+=2)
    phi[i] /=2;
    for (i = 3; i <= maxn; i+=2)
    if (phi[i] == i)
    {
        for (j = i; j<=maxn; j+=i)
        phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
    }
}

int main()
{
    __int64 a;
    __int64 c;
    totleprm = getprm(10000);
    while (scanf("%I64u%s%I64u",&a,s,&c)!=EOF)
    {
        __int64 b = strmod(s,euler(c))+euler(c);
        printf("%I64u/n",power_mod(a,b,c));

}
return 0;
}