06-图1 列出连通集 (25 分)

代码部分:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX 10
struct GNode
{
    int Nv;//点数
    int Ne;//边数
    int G[MAX][MAX];//各个点的连通情况
};
typedef struct GNode* PTGNode;
typedef PTGNode MGraph;
struct ENode
{
    int v1;
    int v2;
};//v1和v2的连通情况
typedef struct ENode* Edge;
void InsertEdge(MGraph Graph,Edge e);
MGraph BuildGraph();
void DFS(MGraph Graph,int v,int visit[]);
void BFS(MGraph Graph,int v,int visit[]);
int main()
{
   MGraph Graph;
   Graph=BuildGraph();
   int visit[MAX]={0};//visit[]表示各点是否被访问,初始化为0
   int i;
   for(i=0;i<Graph->Nv;i++)
   {
       if(visit[i]==0)//被访问过的点不参与DFS
       {
           printf("{ ");
           DFS(Graph,i,visit);
            printf("}\n");
       }
   }
   for(i=0;i<MAX;i++)//visit[]初始化0
   {
       visit[i]=0;
   }
   for(i=0;i<Graph->Nv;i++)
   {
       if(visit[i]==0)
       {
           printf("{ ");
           BFS(Graph,i,visit);
            printf("}\n");
       }
   }
   return 0;
}
MGraph BuildGraph()
{
    int i,j;
    Edge e;
    MGraph Graph;
    Graph=(MGraph)malloc(sizeof(struct GNode));
    e=(Edge)malloc(sizeof(struct ENode));
    scanf("%d",&Graph->Nv);//输入点数
    for(i=0;i<Graph->Nv;i++) /*各点之间初始化为不连通*/
        for(j=0;j<Graph->Nv;j++)
            Graph->G[i][j]=0;
    scanf("%d",&Graph->Ne);//输入边数

    for(i=1;i<=Graph->Ne;i++)
    {
        scanf("%d %d",&e->v1,&e->v2);
        InsertEdge(Graph,e);
    }
    free(e);
    return Graph;
}
void InsertEdge(MGraph Graph,Edge e)//无向图
{
    Graph->G[e->v1][e->v2]=1;
    Graph->G[e->v2][e->v1]=1;
}
void DFS(MGraph Graph,int v,int visit[])
{
    int i;
    visit[v]=1;
    printf("%d ",v);
    for(i=0;i<Graph->Nv;i++)
    {
        if(visit[i]==0&&Graph->G[v][i]==1)
        {
            DFS(Graph,i,visit);
        }
    }
}
void BFS(MGraph Graph,int v,int visit[])
{
    int queue[100];
    int first,rear,i,w;
    first=-1,rear=-1;
    visit[v]=1;
    queue[++rear]=v;//入队
    while(first<rear)//队不为空
    {
        w=queue[++first];//出队
        printf("%d ",w);
        for(i=0;i<Graph->Nv;i++)
        {
            if(visit[i]==0&&Graph->G[w][i]==1)//没有被访问过并且连通
            {
                visit[i]=1;
                queue[++rear]=i;//入队
            }
        }
    }

}

 

### 关于PTA平台上的连通集实现 #### 一、连通集的概念及其意义 在一个无向中,如果任意两个顶点之间都存在一条路径相连,则称这个为连通。而连通量是指一个非连通中的极大连通子[^1]。 为了在程序设计竞赛或者实际开发中解决连通性问题,通常会采用并查集(Union-Find Set)、深度优先搜索(DFS)或广度优先搜索(BFS)来查找和处理这些连通量。 --- #### 二、数据结构的选择与定义 针对连通集的实现,常见的两种方式如下: ##### 1. 并查集(Disjoint Set Union, DSU) 并查集是一种用于管理集合的数据结构,支持快速查询某个元素属于哪个集合以及合并两个集合的功能。其核心操作包括 `find` 和 `union`。 ###### 定义: ```c++ class DisjointSet { private: vector<int> parent; public: DisjointSet(int size) : parent(size) { for (int i = 0; i < size; ++i) { parent[i] = i; } } int find_set(int x) { // 路径压缩优化 if (parent[x] != x) { parent[x] = find_set(parent[x]); } return parent[x]; } void union_set(int x, int y) { // 按秩合并优化省略 int fx = find_set(x); int fy = find_set(y); if (fx != fy) { parent[fy] = fx; } } }; ``` 通过上述代码,我们可以高效地维护一组不相交的集合,并能迅速判断两节点是否在同一连通集中[^2]。 --- ##### 2. 使用邻接表/邻接矩阵配合 DFS 或 BFS 另一种方法是利用的存储形式——邻接表或邻接矩阵,结合深度优先搜索(DFS)或广度优先搜索(BFS),逐一访问未被标记过的节点,从而找到所有的连通量。 ###### 邻接表定义: ```cpp #include <vector> using namespace std; // 创建邻接表 void add_edge(vector<vector<int>>& adj_list, int u, int v) { adj_list[u].push_back(v); adj_list[v].push_back(u); // 如果是有向则去掉这一句 } ``` ###### DFS 实现: ```cpp void dfs(const vector<vector<int>>& graph, vector<bool>& visited, int node) { visited[node] = true; for (const auto& neighbor : graph[node]) { if (!visited[neighbor]) { dfs(graph, visited, neighbor); } } } int count_connected_components_dfs(const vector<vector<int>>& graph) { int n = graph.size(); vector<bool> visited(n, false); int components = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (!visited[i]) { dfs(graph, visited, i); components++; } } return components; } ``` ###### BFS 实现: ```cpp #include <queue> int bfs_count_connected_components(const vector<vector<int>>& graph) { int n = graph.size(); vector<bool> visited(n, false); queue<int> q; int components = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (!visited[i]) { q.push(i); visited[i] = true; while (!q.empty()) { int current_node = q.front(); q.pop(); for (auto& neighbor : graph[current_node]) { if (!visited[neighbor]) { visited[neighbor] = true; q.push(neighbor); } } } components++; } } return components; } ``` 以上代码展示了如何基于邻接表使用 DFS/BFS 来统计连通量的数量[^3]。 --- #### 三、具体应用场景析 当面对大规模稀疏时,推荐使用 **邻接表+DFS/BFS** 方法;而对于稠密或需要频繁执行连接性和断开操作的情况,应考虑使用 **并查集** 结构[^4]。 --- ### 性能对比总结表格 | 特性 | 并查集 | DFS / BFS | |-------------------|----------------------------|---------------------------| | 时间复杂度 | O(α(N)) | O(V+E),其中 α 是反阿克曼函数 | | 空间复杂度 | 较低 | 取决于递归栈深或队列大小 | | 是否适合动态更新 | 支持动态添加边 | 不易扩展至动态场景 | --- #### 四、注意事项 - 输入验证:确保输入的颜色种类不超过指定范围,可以通过 `std::set` 判断是否存在非法颜色。 - 存储效率:对于大型,建议使用动态配内存的方式创建邻接表而非固定长度的大数组,以防止堆栈溢出。 ---
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