dfs序基本类型 详细

参考

dfs序七个经典问题 ——weeping

本博文又名：手把手教你写树状数组

1. 单点修改，子树和查询

单点修改，区间查询

树状数组

维护每个点的权值：
1. 修改$x$（增加$w$）：单点修改——add(x,w);
2. 查询$x$的子树：区间查询——ans=query(le[x])-query(ri[x]-1);

2. 单点修改，树链和查询

首先将 $u-v$ 树链和查询转化成 $u-root,v-root,lca(u,v)-root,fa(lca(u,v))-root$ 的查询，即要维护树上节点到 $root$ 的权值和。
考虑修改点 $x$，影响到的即为 $x$ 的子树内的点到 $root$ 的权值，所以，单点修改事实上是区间修改。
至于查询，则是四个单点查询。

线段树

维护每个节点到 $root$ 的权值和：
1. 修改$x$（增加$w$）：区间修改——修改 $[le[x],ri[x]]$ 区间，modify(1,le[x],ri[x],w);
2. 查询$[u,v]$链：单点查询——查询 $u,v,lca(u,v),fa(lca(u,v))$，
ans=query(1,u)+query(1,v)-query(1,lca(u,v))-query(1,fa(lca(u,v)));
（本质上即四次查询$x$：query(1, x);）

树状数组

前缀和维护点到 $root$ 的权值和的变化量：
1. 修改$x$（增加$w$）：区间修改——add(le[x],w),add(ri[x]+1,-w);
2. 查询$[u,v]$链：单点查询——ans=[u,v]间权值和的初始值+query(le[u])+query(le[v])-query(le[lca(u,v)])-query(le[fa(lca(u,v))]);
（本质上即四次查询$x$：query(x);）

3. 树链修改，单点查询

树链修改的道理同上，等价于修改某个点到 $root$ 的路径的权值和。
考虑修改的树链的一个端点为 $x$，增加值为 $w$，影响到的则是 $x$ 到 $root$ 的路径上的点的权值，即当且仅当 $x$ 在 $y$ 的子树内，修改 $x$ 会对 $y$ 的权值造成影响，增加值为 $w$。
对于点 $y$ 而言，其权值的变化量事实上就是其子树中点权值的变化量之和（相当于把 $y$ 的变化量记在了其子孙节点的头上），即$\sum_{x\in y的子树}w[x]$，故为区间查询。而维护的即为子树中点权值的变化量，即单点修改。

树状数组

维护每个点权值的变化量：
1. 修改$[u,v]$链（增加$w$）：单点修改——add(u,w),add(v,w),add(lca(u,v),-w),add(fa(lca(u,v)),-w);
（本质上即四次修改$x$：add(x,w);）
2. 查询$x$：区间查询——ans=x的初始值+query(ri[x])-query(le[x]-1);

4. 树链修改，子树和查询

树链修改的道理同上，等价于修改某个点到 $root$ 的路径的权值和。
考虑修改的树链的一个端点为 $x$，影响到的则是 $x$ 到 $root$ 的路径上的点的权值，即当且仅当 $x$ 在 $y$ 的子树内，修改 $x$ 会对 $y$ 的子树和造成影响，增加值为 $w[x]*(depth[x]-depth[y]+1)$。
$y$ 的变化量总和则为

$$\begin{align} &\sum_{x\in y的子树}w[x]*(depth[x]-depth[y]+1)\\ &=\sum_{x\in y的子树}w[x]*(depth[x]+1)-depth[y]\sum_{x\in y的子树}w[x] \end{align}$$
仍是单点修改，区间查询

树状数组

开两个树状数组，分别维护 $w[x]*(depth[x]+1)$ 与 $w[x]$.
1. 修改$[u,v]$链（增加$w$）：单点修改——
add1(u,w*(depth[u]+1)),add1(v,w*(depth[v]+1)),add1(lca(u,v),-w*(depth[lca(u,v)]+1)),add1(fa(lca(u,v)),-w*(depth[fa(lca(u,v)]+1);
add2(u,w),add2(v,w),add2(lca(u,v),-w),add2(fa(lca(u,v)),-w);
（本质上即八次修改$x$：add(x,w);）
2. 查询$x$的子树：区间查询——
ans=子树和的初始值+query1(ri[x])-query1(le[x]-1)-depth[x]*(query2(ri[x])-query2(le[x]-1));

5. 子树修改，单点查询

区间修改，单点查询

树状数组

前缀和维护点权值的变化量：
1. 修改$x$的子树（增加$w$）：区间修改——add(le[x],w),add(ri[x]+1,-w);
2. 查询$x$：单点查询——ans=x的初始值+query(le[x]);

6. 子树修改，子树和查询

区间修改，区间查询

线段树

维护每个点的权值
1. 修改$x$的子树（增加$w$）：区间修改——add(1,le[x],ri[x],w);
2. 查询$x$的子树：区间查询——ans=query(1,le[x],ri[x]);

树状数组

具体见【小结】树状数组的区间修改与区间查询 ——MoeO3，本菜就不多废话了_(:3」∠)_
（已经赤果果地变成一篇树状数组的文章啦(逃

7. 子树修改，树链和查询

树链修改的道理同2. 3. 4. ，等价于修改某个点到 $root$ 的路径的权值和。
考虑修改 $x$ 的子树，影响的则是 $x$ 的子树内的点到 $root$ 的路径的权值和，即当且仅当 $y$ 在 $x$ 的子树内，修改会对 $y$ 的查询造成影响，增加值为 $w[x]*(depth[y]-depth[x]+1)$。故为区间修改，单点查询。

树状数组

开两个树状数组，分别维护 $w[x]*(-depth[x]+1)$ 与 $w[x]$.
1. 修改$x$的子树（增加$w$）：区间修改——
add1(le[x],w[x]*(-depth[x]+1);add1(ri[x]+1,-w[x]*(-depth[x]+1);
add2(le[x],w[x]);add2(ri[x]+1,-w[x]);
2. 查询$[u,v]$链：单点查询——
ans=[u,v]间权值和的初始值+(query1(le[u])+query1(le[v])-query1(le[lca(u,v)])-query1(le[fa(lca(u,v))]))+depth[y]*(query2(le[u])+query2(le[v])-query2(le[lca(u,v)])-query2(le[fa(lca(u,v))]));
（本质上即八次查询：query(x)）

完结撒花~
哪里有错误还烦请批评指正啦