BZOJ 3930 [CQOI2015]选数 & 51nod 1244 莫比乌斯函数之和 & BZOJ 2301

这篇文章姑且叫做小总结大杂烩吧（大雾）

BZOJ 3930

题意

从区间 $[L,H]$ 中选取 $N$ 个整数，求它们的最大公约数为 $K$ 的方案总数，答案 $mod 1e9+7$.
$1\leq N,K\leq 1e9，1\leq L\leq H\leq 1e9，H-L\leq 1e5$.

推导

就是莫比乌斯反演最常规的套路了
记 $f(i)$ 为 $gcd=i$ 的方案总数， $F(i)$ 为 $i|gcd$ 的方案总数，显然有

$$F(i)=\sum_{i|d}gcd(d)$$ 反演得 $$f(i)=\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})F(d)$$ 题目里要求的即为
$$\begin{align} f(K)&=\sum_{K|d}\mu(\frac{d}{K})F(d)\\ &=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{H}{K}\rfloor}\mu(i)F(ik) \end{align}$$
注意：这里 $i$ 也就是 倍数 的下界是从 $1$ 开始，而不是从 $\lceil\frac{L}{K}\rceil$ 开始。道理很显然，取数的范围的下界为 $L$ 并不意味着 $gcd$ 的下界也要为 $L$ 啊。（智障到不忍回顾Orz）

$F$ 很好求，即

$$F(x)=(\lfloor\frac{H}{K}\rfloor-\lceil\frac{L}{K}\rceil+1)^n$$ 也可写作 $$F(x)=(\lfloor\frac{H}{K}\rfloor-\lfloor\frac{L-1}{K}\rfloor)^n$$

接下来就是很显然的分块搞一搞了。
且慢……你说什么范围有 $1e9$ ？那还怎么线性筛？
那就先来看另一道题吧~

51nod 1244

题意

求莫比乌斯函数之和，范围 $n\leq 1e10$

参考

浅谈一类积性函数的前缀和 ——skywalkert

推导

我们有

$$\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]$$ 将左边拆开来 $$\mu(n)+\sum_{d|n,d\lt n}\mu(d)=[n==1]$$ 移过去 $$\mu(n)=[n==1]-\sum_{d|n,d\lt n}\mu(d)$$ 求个和
$$\begin{align} \sum_{i=1}^{n}\mu(i)&=\sum_{i=1}^{n}[i==1]-\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i,d\lt i}\mu(d)\\ &=1-\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i,d\lt i}\mu(d)\\ &=1-\sum_{k=2}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\mu(d)\\ \end{align}$$
记 $M(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)$，上式可化为 $$M(n)=1-\sum_{k=2}^{n}M(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor)$$ 很显然就可以递归求解了。
具体做的时候设个阈值 $1e7$ 筛一部分算一部分。

奇怪的(…)延伸

其实这部分起初叫做：上面推导没看明白的看这里QWQ
为什么

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i,d\lt i}\mu(d)=\sum_{k=2}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\mu(d)$$ 呢？
我们一般将里面的部分提前的时候提的是枚举的 因子 $d$，这样左边就化为 $$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=2}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(d)$$ 右式中 $d$ 的含义没有变，$i$ 则是枚举的 $d$ 的 倍数。继续化下去 $$=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{i=2}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor-1)$$ 这…好像并没有什么用处呢…。

现在我们考虑提前 倍数，则得到

$$\sum_{k=2}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\mu(d)$$ 其中 $k$ 的含义为 倍数，$d$ 还是表示因子，这样就得到了有用的可以用来递推的式子了（撒花）。

真是神奇啊（大雾）
之前各种看人家的博客各种看不懂嘤嘤嘤

不过我们也有一些收获。

$$[n==1]=\sum_{d|n}\mu(d)$$ 两边求和
$$\begin{align} 1=\sum_{i=1}^{n}[i==1]&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(d) =\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(d)\\ &=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{i=2}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor \end{align}$$
也就是说 $$\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor=1$$ 哇世界真奇妙（大雾）姑且当成一个奇怪的结论吧~

Code

#include <bits/stdc++.h>
#include <map>
#define maxn 10000010
#define maxm maxn + 10
using namespace std;
typedef long long LL;
map<LL, LL> sum;
int prime[maxm], mu[maxm];
bool check[maxm];
void init() {
    int tot = 0; mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= maxn; ++i) {
        if (!check[i]) {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0; j < tot; ++j) {
            if (i * prime[j] > maxn) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= maxn; ++i) mu[i] += mu[i - 1];
}
LL mu_sum(LL x) {
    if (x <= maxn) return mu[x];
    if (sum.find(x) != sum.end()) return sum[x];
    LL le, ri, ret = 0;
    for (LL i = 2; i <= x; i = ri + 1) {
        le = i, ri = x / (x / i);
        ret += (ri - le + 1) * mu_sum(x / i);
    }
    return sum[x] = 1 - ret;
}
LL a, b;
void work() {
    printf("%lld\n", mu_sum(b) - mu_sum(a - 1));
}
int main() {
    init();
    while (scanf("%lld%lld", &a, &b) != EOF) work();
    return 0;
}

BZOJ 3930 续

有了上一题的基础，这道题就好写了

Code

#include <bits/stdc++.h>
#include <map>
#define maxn 10000010
#define maxm maxn + 10
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 1e9+7;
map<LL, LL> sum;
int prime[maxm], mu[maxm];
bool check[maxm];
void init() {
    int tot = 0; mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= maxn; ++i) {
        if (!check[i]) {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0; j < tot; ++j) {
            if (i * prime[j] > maxn) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= maxn; ++i) mu[i] += mu[i - 1];
}
LL mu_sum(LL x) {
    if (x <= maxn) return mu[x];
    if (sum.find(x) != sum.end()) return sum[x];
    LL le, ri, ret = 0;
    for (LL i = 2; i <= x; i = ri + 1) {
        le = i, ri = x / (x / i);
        ret = (ret + (ri - le + 1) * mu_sum(x / i) + mod) % mod;
    }
    return sum[x] = (1 - ret + mod) % mod;
}
LL poww(LL a, LL b) {
    LL ret = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ret = ret * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
LL n, k, l, h;
LL F(LL d) { return poww(h / d - (l-1) / d, n); }
void work() {
    LL hi = h / k;
    LL ans = 0, le, ri;
    for (LL i = 1; i <= hi; i = ri + 1) {
        LL temp = i * k;
        le = i, ri = min(h / (h / temp), (l-1) / temp ? (l-1) / ((l-1) / temp) : inf) / k;
        ans = (ans + mod + (mu_sum(ri) - mu_sum(le - 1) + mod) % mod * F(temp) % mod) % mod;
    }
    ans = (ans + mod) % mod;
    printf("%lld\n", ans);
}
int main() {
    init();
    while (scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &k, &l, &h) != EOF) work();
    return 0;
}

BZOJ 2301

题意

求

$$\sum_{x=a}^{b}\sum_{y=c}^{d}[gcd(x,y)=k]$$
（低配版的BZOJ 3930）

推导

即求

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=k]$$ 再容斥一下即可。
因为 $gcd(i,j)=k$，所以 $gcd(\frac{i}{k},\frac{j}{k})=1$，所以上式可化为 $$\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}[gcd(i,j)=1]$$ 即 $$\sum_{d=1}^{min(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor,\lfloor\frac{m}{k}\rfloor)}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{kd}\rfloor}$$ 即 $$\sum_{d=1}^{min(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor,\lfloor\frac{m}{k}\rfloor)}\mu(d)\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor\lfloor\frac{m}{kd}\rfloor$$ 分块搞一搞就行了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 50000
typedef long long LL;
using namespace std;
int kas, prime[maxn + 10], mu[maxn + 10], pre[maxn];
bool check[maxn + 10];
void mobius() {
    int tot = 0;
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= maxn; ++i) {
        if (!check[i]) {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0; j < tot; ++j) {
            if (i * prime[j] > maxn) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= maxn; ++i) pre[i] = pre[i - 1] + mu[i];
}
LL calc(int c, int d) {
    if (c > d) swap(c, d);
    LL ans = 0;
    int le, ri;
    for (int i = 1; i <= c; i = ri + 1) {
        le = i, ri = min(c / (c / i), d / (d / i));
        ans += 1LL * (pre[ri] - pre[le - 1]) * (c / i) * (d / i);
    }
    return ans;
}
void work() {
    int a, b, c, d, k;
    scanf("%d%d%d%d%d", &a, &c, &b, &d, &k);
    LL tot1 = calc(c / k, d / k), tot2 = calc(c / k, (b-1) / k),
        tot3 = calc((a-1) / k, d / k), tot4 = calc((a-1) / k, (b-1) / k);
    printf("%lld\n", tot1 - tot2 - tot3 + tot4);
}
int main() {
    mobius();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) work();
    return 0;
}