MOEA-D（基于分解的多目标进化算法）
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MOEA-D（基于分解的多目标进化算法）是一种用于多目标优化的进化算法，其核心思想是将多目标优化问题分解为多个单目标优化问题。下面是MOEA-D算法的几个主要特点和步骤：
主要特点
-
分解策略：
- 将多目标优化问题通过权重向量（lambda）划分为多个子问题。每个子问题对应一个权重向量，代表目标空间中的一个方向。
-
邻域交互：
- 每个子问题与其邻域内的其他子问题相互影响，这有助于保持种群的多样性并促进优良解的传播。
-
适应度评估：
- 通过计算每个个体与理想点的距离，评估其适应度。采用加权绝对差的最大值作为个体的代价。
-
多样性维护：
- 通过选择、交叉和变异等操作，保持种群的多样性，避免早熟收敛。
算法步骤
-
初始化：
- 随机生成初始种群和对应的权重向量，确定邻域关系。
-
循环迭代：
- 在每次迭代中，通过交叉和变异等操作生成新个体。
- 更新每个个体的代价，使用分解代价函数评估解的质量。
- 通过支配关系确定哪些个体被优先保留。
-
更新Pareto前沿：
- 在每次迭代后，更新估计的Pareto前沿，并在必要时进行个体的选择和替换。
-
终止条件：
- 当达到预设的最大迭代次数或满足其他停止条件时，算法结束，返回Pareto前沿的解集。
应用场景
MOEA-D算法广泛应用于工程优化、资源分配、路径规划等领域，尤其是在多个相互冲突的目标之间寻求平衡时表现出色。
CreateSubProblems.m 文件代码：
% 创建子问题的函数
% 输入参数:
% nObj - 目标函数的数量
% nPop - 种群数量
% T - 每个子问题的邻居数量
function sp = CreateSubProblems(nObj, nPop, T)
% 初始化空的子问题结构体
empty_sp.lambda = []; % 存储子问题的权重向量
empty_sp.Neighbors = []; % 存储邻居子问题的索引
% 使用空结构体复制生成种群数量的子问题
sp = repmat(empty_sp, nPop, 1);
% theta = linspace(0, pi/2, nPop); % 可选：均匀分布的角度，未使用
for i = 1:nPop
% 随机生成权重向量并进行归一化
lambda = rand(nObj, 1);
lambda = lambda / norm(lambda); % 归一化处理
sp(i).lambda = lambda; % 将权重向量存储到子问题中
% 可选：使用角度生成权重向量，未使用
% sp(i).lambda = [cos(theta(i))
% sin(theta(i))];
end
% 从子问题中提取权重向量并计算距离矩阵
LAMBDA = [sp.lambda]';
D = pdist2(LAMBDA, LAMBDA); % 计算权重向量之间的欧氏距离
for i = 1:nPop
% 对距离进行排序，获取最近的T个邻居
[~, SO] = sort(D(i, :));
sp(i).Neighbors = SO(1:T); % 存储邻居索引
end
end
Crossover.m 文件代码：
% 交叉操作函数
% 输入参数:
% x1 - 第一个父代个体
% x2 - 第二个父代个体
% params - 参数结构体，包含交叉参数和变量范围
function y = Crossover(x1, x2, params)
% 从参数中提取交叉相关参数
gamma = params.gamma; % 交叉幅度参数
VarMin = params.VarMin; % 变量的最小值
VarMax = params.VarMax; % 变量的最大值
% 生成交叉因子，范围在[-gamma, 1 + gamma]之间
alpha = unifrnd(-gamma, 1 + gamma, size(x1));
% 进行线性组合生成子代个体
y = alpha .* x1 + (1 - alpha) .* x2;
% 确保生成的个体在变量范围内
y = min(max(y, VarMin), VarMax);
end
DecomposedCost.m 文件代码：
% 计算分解代价的函数
% 输入参数:
% individual - 当前个体，可以是代价向量或结构体
% z - 理想点（目标函数的真实值）
% lambda - 权重向量，用于分解计算
function g = DecomposedCost(individual, z, lambda)
% 检查个体是否包含代价值
if isfield(individual, 'Cost')
fx = individual.Cost; % 从结构体中提取代价值
else
fx = individual; % 如果不是结构体，直接使用个体作为代价
end
% 计算分解代价，使用加权绝对差的最大值
g = max(lambda .* abs(fx - z)); % 计算当前个体与理想点的代价
end
DetermineDomination.m 文件代码：
% 确定种群中个体的支配关系的函数
% 输入参数:
% pop - 种群数组，包含多个个体
function pop = DetermineDomination(pop)
nPop = numel(pop); % 获取种群中个体的数量
% 初始化每个个体的支配状态
for i = 1:nPop
pop(i).IsDominated = false; % 默认未被支配
end
% 进行双重循环比较每对个体
for i = 1:nPop
for j = i + 1:nPop
if Dominates(pop(i), pop(j))
% 如果个体i支配个体j
pop(j).IsDominated = true; % 将j标记为被支配
elseif Dominates(pop(j), pop(i))
% 如果个体j支配个体i
pop(i).IsDominated = true; % 将i标记为被支配
end
end
end
end
Dominates.m 文件代码：
% 判断个体x是否支配个体y的函数
% 输入参数:
% x - 被比较的个体
% y - 另一个被比较的个体
function b = Dominates(x, y)
% 如果个体x是结构体，则提取代价值
if isfield(x, 'Cost')
x = x.Cost; % 获取个体x的代价
end
% 如果个体y是结构体，则提取代价值
if isfield(y, 'Cost')
y = y.Cost; % 获取个体y的代价
end
% 判断x是否支配y
% x支配y当且仅当x在所有目标上都不大于y，并且至少在一个目标上严格小于y
b = all(x <= y) && any(x < y);
end
main.m 文件代码：
% 主程序文件
% 调用MOEA-D算法的主函数
moead; % 执行MOEA-D算法的实现
moead.m 文件代码：
% MOEA-D算法的实现
clc; % 清除命令行
clear; % 清除工作区
close all; % 关闭所有图形窗口
%% 问题定义
CostFunction = @(x) MOP2(x); % 目标函数，使用MOP2函数进行评估
nVar = 3; % 决策变量的数量
VarSize = [nVar 1]; % 决策变量矩阵的大小
VarMin = 0; % 决策变量的下界
VarMax = 1; % 决策变量的上界
nObj = numel(CostFunction(unifrnd(VarMin, VarMax, VarSize))); % 目标函数的数量
%% MOEA/D设置
MaxIt = 100; % 最大迭代次数
nPop = 50; % 种群规模（子问题数量）
nArchive = 50; % 存档数量
T = max(ceil(0.15 * nPop), 2); % 邻居数量
T = min(max(T, 2), 15); % 确保邻居数量在合理范围内
crossover_params.gamma = 0.5; % 交叉参数
crossover_params.VarMin = VarMin; % 决策变量下界
crossover_params.VarMax = VarMax; % 决策变量上界
%% 初始化
% 创建子问题
sp = CreateSubProblems(nObj, nPop, T);
% 空个体（作为模板）
empty_individual.Position = []; % 个体位置
empty_individual.Cost = []; % 代价
empty_individual.g = []; % 分解代价
empty_individual.IsDominated = []; % 支配状态
% 初始化目标点
% z = inf(nObj, 1); % 可选，未使用
z = zeros(nObj, 1); % 初始化目标点为零
% 创建初始种群（随机初始化）
pop = repmat(empty_individual, nPop, 1); % 复制空个体
for i = 1:nPop
pop(i).Position = unifrnd(VarMin, VarMax, VarSize); % 随机分布
pop(i).Cost = CostFunction(pop(i).Position); % 计算代价
z = min(z, pop(i).Cost); % 更新理想点
end
% 计算每个个体的分解代价
for i = 1:nPop
pop(i).g = DecomposedCost(pop(i), z, sp(i).lambda);
end
% 确定种群的支配状态
pop = DetermineDomination(pop);
% 初始化估计的Pareto前沿
EP = pop(~[pop.IsDominated]);
%% 主循环
for it = 1:MaxIt
for i = 1:nPop
% 选择个体进行重组（交叉操作）
K = randsample(T, 2); % 随机选择两个邻居
j1 = sp(i).Neighbors(K(1)); % 第一个邻居的索引
p1 = pop(j1); % 第一个邻居的个体
j2 = sp(i).Neighbors(K(2)); % 第二个邻居的索引
p2 = pop(j2); % 第二个邻居的个体
y = empty_individual; % 创建一个新的空个体
y.Position = Crossover(p1.Position, p2.Position, crossover_params); % 交叉生成新个体
y.Cost = CostFunction(y.Position); % 计算新个体的代价
z = min(z, y.Cost); % 更新理想点
% 更新邻居个体
for j = sp(i).Neighbors
y.g = DecomposedCost(y, z, sp(j).lambda); % 计算新个体的分解代价
if y.g <= pop(j).g
pop(j) = y; % 更新邻居个体
end
end
end
% 确定种群的支配状态
pop = DetermineDomination(pop);
ndpop = pop(~[pop.IsDominated]); % 非支配个体
EP = [EP; ndpop]; % 更新Pareto前沿
EP = DetermineDomination(EP); % 确定Pareto前沿的支配状态
EP = EP(~[EP.IsDominated]); % 仅保留非支配个体
% 如果估计的Pareto前沿超过存档限制，则随机删除部分个体
if numel(EP) > nArchive
Extra = numel(EP) - nArchive; % 计算需要删除的个体数量
ToBeDeleted = randsample(numel(EP), Extra); % 随机选择要删除的个体
EP(ToBeDeleted) = []; % 删除个体
end
% 绘制Pareto前沿
figure(1);
PlotCosts(EP); % 绘制当前Pareto前沿
pause(0.01); % 暂停以便可视化更新
% 显示当前迭代的信息
disp(['Iteration ' num2str(it) ': Number of Pareto Solutions = ' num2str(numel(EP))]);
end
%% 结果输出
disp(' ');
EPC = [EP.Cost]; % 提取代价信息
for j = 1:nObj
disp(['Objective #' num2str(j) ':']);
disp([' Min = ' num2str(min(EPC(j, :)))]); % 输出最小值
disp([' Max = ' num2str(max(EPC(j, :)))]); % 输出最大值
disp([' Range = ' num2str(max(EPC(j, :)) - min(EPC(j, :)))]); % 输出范围
disp([' St.D. = ' num2str(std(EPC(j, :)))]); % 输出标准差
disp([' Mean = ' num2str(mean(EPC(j, :)))]); % 输出均值
disp(' ');
end
MOP2.m 文件代码：
% MOP2多目标优化函数
% 输入参数:
% x - 决策变量的向量
function z = MOP2(x)
n = numel(x); % 获取决策变量的数量
% 计算两个目标函数值
z = [
1 - exp(-sum((x - 1/sqrt(n)).^2)); % 第一个目标函数
1 - exp(-sum((x + 1/sqrt(n)).^2)) % 第二个目标函数
];
end
PlotCosts.m 文件代码：
% 绘制目标函数代价的函数
% 输入参数:
% EP - 包含非支配个体的数组
function PlotCosts(EP)
EPC = [EP.Cost]; % 提取所有非支配个体的代价值
plot(EPC(1, :), EPC(2, :), 'x'); % 绘制目标函数的散点图
xlabel('1^{st} Objective'); % 设置x轴标签
ylabel('2^{nd} Objective'); % 设置y轴标签
grid on; % 显示网格
end
ZDT.m 文件代码：
% ZDT多目标优化函数
% 输入参数:
% x - 决策变量的向量
function z = ZDT(x)
n = numel(x); % 获取决策变量的数量
f1 = x(1); % 第一个目标函数值为决策变量的第一个元素
g = 1 + 9 / (n - 1) * sum(x(2:end)); % 计算g函数，涉及其他决策变量
h = 1 - sqrt(f1 / g); % 计算h函数
f2 = g * h; % 计算第二个目标函数值
z = [f1; % 返回目标函数值
f2];
end
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