hdu 1438 hdu1480

hdu 1438 钥匙计数之一

递推方程式如下
1：如果X是钥匙， 则X1/2/3/4也是， 所以a[I]=a[I-1]*4

2: 如果X不是， X2/3是则X由1/4组成， 但要除去全1和全4， 所以a[I]+=(2^(I-1)-2)*2

后缀2或者3加上就成为钥匙的话，必然是没满足需要3个不同深度槽这一项，故X必然由1/4组成

3 如果X不是 X1/4是。则X=Y（1/4） M=X1/4=Y（4/1）（1/4）

前I-2位可以是1234，但要除去全为1/4的情况 还有就是X是钥匙且X是以1/4结尾
的情况。我们用b[I]数组表示i位时以1/4结尾的的数量

   temp=（4^(i-2)-2^(i-2)）* 2 - b[i-1];

则 b[i]=a[i-1]*2+temp;

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 35

__int64 a[N], b[N];

int main()
{
    a[2] = 0; b[2] = 0;
    a[3] = 8; b[3] = 4;
    for (int i = 4; i < 32; i++)
    {
        a[i] = 4 * a[i-1];
        a[i] += (__int64)(pow(2.0, i-1) * 2) - 4;
        __int64 temp = (__int64)(pow(4.0, i-2) - pow(2.0, i-2)) * 2 - b[i-1];
        a[i] += temp;
        b[i] = 2 * a[i-1] + temp;
    }

    for (int i = 2; i < 32; i++)
    {
        printf("N=%d: %I64d\n", i, a[i]);
    }
    return 0;
}

hdu1480 钥匙计数之二

设lock[i]表示：有 i个槽的钥匙的个数

设one[i]表示：有 i个槽且左边第一个槽深度为1的钥匙的个数
设two[i]表示：有 i个槽且左边第一个槽深度为2的钥匙的个数
..
..
设six[i]表示：有 i个槽且左边第一个槽深度为6的钥匙的个数

则显然：lock[i]=one[i]+two[i]+ three[i]+four[i]+five[i]+six[i] 

由于易知：one[i]=six[i],two[i]=three[i]=four[i]=five[i]
则可以得到：lock[i]=one[i]*2+two[i]*4 

其中：
one[i]=one[i-1]+two[i-1]+three[i-1]+four[i-1]+five[i-1]+a[i];
=one[i-1]+two[i-1]*4 +a[i]

two[i]=one[i-1]*2+two[i-1]*4 +b[i]

其中，a[i] 和b[i]的含义分别是：
a[i]表示“有 i个槽且左边第一个槽深度为1，同时这种钥匙在除掉第一个槽后不再是钥匙”的钥匙的个数。
例如 123,124,125,134,135,145,126,136,146,156 就属于这种情况。

b[i]表示“有 i个槽且左边第一个槽深度为2，同时这种钥匙在除掉第一个槽后不再是钥匙” 的钥匙的个数。 

分析到这里，可以知道，关键的是求a[i]和b[i]，我们可以得到如下表达式：
a[i]=(2^(i-1)-2)*6+(2^(i-2)-1)*4
b[i]=(2^(i-1)-2)*9

其中，a[i] 的各部分的含义如下：
(2^(i-1)-2)*6：
当去掉第一位，后面i-1位只有 (2,3)或者 (2,4) 或者(2,5) 或者(3,4) 或者(3,5) 或者(4,5)两种数字的时候，显然是不合法的钥匙（不满足至少有3个不同的深度），加上第一位的1则显然是一个合格的钥匙。所以后面的数字可以为一个组合中两个数字的任意一个，根据乘法原理i-1位一共有2^(i-1)种组合，当然还需要去掉两种特殊情况，就是后面i-1位完全相同的情况。满足这种条件的一共有上面六种组合，所以得到(2^(i-1)-2)*6。
(2^(i-2)-1)*4：
当去掉第一位，后面i-1位只有 (2,6)或者 (3,6) 或者(4,6) 或者(5，6)两种数字的时候，显然是不合法的钥匙（不满足至少有3个不同的深度），加上第一位的1则“可能”是一个合格的钥匙。因为要注意满足“相连的槽其深度之差不得为5”这个条件，所以，紧跟着1的绝对不能是6，这样，相对于上面的分析，后面i-2位可以是每组中的任意一个，所以有2^(i-2)，还要减去1是因为同样要排除后面全部是和第2位一样的数字这样的情况。满足这种条件的一共有上面的四种组合，所以得到(2^(i-2)-1)*4。

b[i] 的含义如下：
(2^(i-1)-2)*9：
当去掉第一位，后面i-1位只有 (1,3)或者 (1,4) 或者(1,5) 或者(3,4) 或者(3,5) 或者(3,6) 或者(4,5) 或者(4,6) 或者(5,6) 两种数字的时候，显然是不合法的钥匙（不满足至少有3个不同的深度），加上第一位的1则显然是一个合格的钥匙。所以后面的数字可以为一个组合中两个数字的任意一个，根据乘法原理i-1位一共有2^(i-1)种组合，当然还需要去掉两种特殊情况，就是后面i-1位完全相同的情况。满足这种条件的一共有上面9种组合，所以得到(2^(i-1)-2)*9。

目前为止，我们可以求出所有的a[i]和b[i]，而且知道了递推关系，只要再做一点简单的工作就可以了，那就是还需要初始值，当然，很容易枚举出最简单的情况
one[3]=16;
two[3]=18;

这样，整个问题就解决了。
特别说明：

这种递推的题目，就是从f(i-1) 加一个元素，然后枚举出所有可能的情况，推导到f(i),当然这个题目有点麻烦，但是套路是一样的，大家也可以参考一下以前的special number课件,里面对于hdoj_1133 Buy the Ticket这个题目的分析，里面的思路和这个完全一样。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 35

__int64 one[N], two[N], lock[N], a[N], b[N];

int main()
{
	one[3] = 16; two[3] = 18; lock[3] = 104;
	for (int i = 4; i < 26; i++)
	{
		a[i] = ((__int64)(pow(2.0, i-1))-2) * 6 + 4 * ((__int64)(pow(2.0, i-2))-1);
		b[i] = 9 * ((__int64)(pow(2.0, i-1))-2);
		one[i] = one[i-1] + 4 * two[i-1] + a[i];
		two[i] = 2 * one[i-1] + 4 * two[i-1] + b[i];
		lock[i] = 2 * one[i] + 4 * two[i];
	}

	for (int i = 3; i < 26; i++)
	{
		printf("N=%d: %I64d\n", i, lock[i]);
	}
	return 0;
}