22、小波包：原理、构造与应用

小波包：原理、构造与应用

1. 啁啾信号分析

啁啾信号是一种调制不断增加的振荡信号，例如 $\sin(250\pi t^2)$，在区间 $[0, 1]$ 上采样 512 次。对于这种“线性”啁啾信号，其相位的导数是线性的。

在小波分析中，很难检测到信号的时频特性。但使用小波包分析时，绝对值最大的小波包系数呈现出明显的线性斜率。

对于形如 $\sin(k\pi t^3)$ 的“二次”啁啾信号，最大的小波包系数会呈现出二次时频模式。

2. 小波包的构建

使用正交小波生成小波包的计算方案相对简单。我们从长度为 $2N$ 的两个滤波器 $h(n)$ 和 $g(n)$ 开始，它们对应于小波。

通过归纳法，我们定义以下函数序列：
$(W_n(x), n = 0, 1, 2, …)$
其中 $W_0(x) = \varphi(x)$ 是尺度函数，$W_1(x) = \psi(x)$ 是小波函数。

以 Haar 小波为例：
$N = 1$，$h(0) = h(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$，$g(0) = -g(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
则有：
$W_{2n}(x) = W_n(2x) + W_n(2x - 1)$
$W_{2n + 1}(x) = W_n(2x) - W_n(2x - 1)$

我们可以通过以下命令获取 $n = 0$ 到 7 的 $W$ 函数的近似值：

[wfun,xgrid] = wpfun(