18、小波分析常见问题与小波家族详解

小波分析常见问题与小波家族详解

1. 小波零均值与消失矩的优势

当小波的 k + 1 阶矩等于零（对于 ）时，所有次数小于等于 k 的多项式信号的小波系数都为零。这意味着这些信号的细节信息也为零，该特性能够有效抑制次数小于等于 k 的多项式信号。

2. 小波的正则性

2.1 正则性的重要性

在理论和实践研究中，正则性的概念愈发重要。小波是研究正则性和进行局部研究的有力工具。像确定性分形信号或布朗运动轨迹这类信号，在局部上具有很强的不规则性。例如，布朗运动轨迹是连续信号，但它几乎处处不可导。

2.2 正则性的定义

为了简化，我们定义信号 f 的正则性 s：
- 如果信号 f 在 x0 处 s 阶连续可导，且 s 为整数（ ），那么正则性就是 s。
- 如果 f 的 m 阶导数在 x0 附近局部类似于 ，则 s = m + r，其中 0 < r < 1。
- 信号 f 在一个区域内的正则性取决于其最不规则点的正则性。s 值越大，信号越规则。

2.3 部分小波的正则性示例

以下是 Daubechies 小波的正则性示例：
| 小波名称 | 正则性 |
| ---- | ---- |
| db1 (Haar) | 不连续 |
| db2 | 0.5 |
| db3 | 0.91 |
| db4 | 1.27 |
| db5 | 1.59 |
| db7 | 2.15 |
| db10 | 2.90 |

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