Python建立数学推理引擎TLW（二）推理都有用到哪些逻辑

Python建立数学推理引擎TLW（二）推理都有用到哪些逻辑

逻辑关系表达式可以认为是型为: $左侧 逻辑符号 $右侧 = 返回值 的表达式。

其中左侧、右侧的取值可能为: 真(True)、 假(False)

左右侧中间的逻辑符号为: 且(AND), 或(OR), 异或(XOR) 等等

这里暂时不讨论取反(NOT), 另外这些逻辑符号最少只要有两个就能构成完备的逻辑，可以组合形成别的逻辑。

常用逻辑

上面列举的三种: AND, OR, XOR是最常用的逻辑符号，但显然左侧、右侧、取值 对 真 假所产生的所有真值表不会只有这三种连接符号。先思考AND, OR, NOT的本质含义，再看可能的逻辑操作符号都有那些(根据排列组合可以计算出来应该总共16个)，然后根据字面含义对他们简单命名(各种逻辑书上的名字日常中基本很少见到，诸如: 同或, 与非, 或非等等)。

且的解释: 左右两侧都为真才为真，否则为假。
或的解释: 左右两侧全为假则为假，否则为真。
异或解释: 相同为真，相异为假。

与数学推理的关系

异或就是左右两侧要么全都成立，有一方不成立则为假。类似数学推理过程中的当且仅当。

数学推理中最常用到的如果...那么表述的真值表如下:

左侧	右侧	返回值
True	True	True
True	False	False
False	True	?
False	False	?

可以看出, 左侧条件成立时，右侧推论也成立，整个逻辑表达式为真；左侧条件成立，右侧推论不成立时，整个逻辑表达式为假。当左侧条件不成立时，也就是如果...没有成立，后面的那么...逻辑取值就无关紧要了。

除了当且仅当, 如果那么还有其他的逻辑吗? 下面尝试穷举这种形式的逻辑下所有的真值组合。

所有可能的真值表

可以得知，左侧，右侧对于真、假一共可以有4种取值。从真假中任取4值（可以认为就是进行了某种逻辑操作），会产生的组合如下:

1 . 全真

左侧	右侧	返回值
True	True	True
True	False	True
False	True	True
False	False	True

2 . 有真即真（或)

左侧	右侧	返回值
True	True	True
True	False	True
False	True	True
False	False	False

3 . 同真异左

左侧	右侧	返回值
True	True	True
True	False	True
False	True	False
False	False	True

4 . 取左

左侧	右侧	返回值
True	True	True
True	False	True
False	True	False
False	False	False

5 . 同真异右

左侧	右侧	返回值
True	True	True
True	False	False
False	True	True
False	False	True

6 . 取右

左侧	右侧	返回值
True	True	True
True	False	False
False	True	True
False	False	False

7 . 同真异假(异或)

左侧	右侧	返回值
True	True	True
True	False	False
False	True	False
False	False	True

8 . 有假即假(且)

左侧	右侧	返回值
True	True	True
True	False	False
False	True	False
False	False	False

9 . 有假即真

左侧	右侧	返回值
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	True

10 . 同假异真

左侧	右侧	返回值
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	False

11 . 反右

左侧	右侧	返回值
True	True	False
True	False	True
False	True	False
False	False	True

12 . 同假异左

左侧	右侧	返回值
True	True	False
True	False	True
False	True	False
False	False	False

13 . 反左

左侧	右侧	返回值
True	True	False
True	False	False
False	True	True
False	False	True

14 . 同假异右

左侧	右侧	返回值
True	True	False
True	False	False
False	True	True
False	False	False

15 . 有真即假

左侧	右侧	返回值
True	True	False
True	False	False
False	True	False
False	False	True

16 . 全假

左侧	右侧	返回值
True	True	False
True	False	False
False	True	False
False	False	False

总结规律

总共16种可能，可大致分如下几类:

• 和左侧，右侧取值无关的逻辑取值:
  • 全真
  • 全假
• 只和左侧、右侧的单侧取值相关的逻辑取值:
  • 取左
  • 取右
  • 反左
  • 反右
• 和左侧、右侧双侧取值相关的逻辑取值:
  • 有真即真(或)
  • 有真即假(且)
  • 有假即假
  • 有假即真
• 只和左侧、右侧取值是否相同有关的逻辑取值:
  • 同真异假(异或)
  • 同假异真
• 和左侧、右侧取值本身以及取值是否相同有关的逻辑取值:
  • 同真异左
  • 同真异右
  • 同假异左
  • 同假异右