Karatsuba乘法

• 整数位乘问题

  输入：x，y是n位二进制数，$n=2^k$

  输出：xy

  普通乘法：需要O($n^2$)次运算

  试使用分支算法改进算法

  普通分治：
  $$\begin{gathered} x=A{x}^{\frac{n}{2}}+B;y=C{x}^{\frac{n}{2}}+D, \\ 因此xy=AC{2}^n+(AD+BD)2^{\frac{n}{2}}+BD \\ W(n)=4W(\frac{n}{2})+O(n)(O(n)为移位和相加操作) \\ 解得W(n)=W(n^2) \end{gathered}$$
  Karatsuba乘法
  $$\begin{gathered} AD+BC=(A-B)(D-C)+AC+BD \\ 因此W(n)=3W(\frac{n}{2})+O(n) \\ 解得W(n)=O(n^{\log 3}) \end{gathered}$$