学习卢卡斯定理一篇QWQ

lucas定理学习。。

首先，我们得知道卢卡斯定理求得是啥。。。

比如C（n,m）求的是从n个数中取m个数的组合数

而C（n，m）等于的是n！/（m！*（n-m）！）。。不否认我们可以递推过去。。但是如果如果
m很大呢。。。大的达到了一个天文数字级别。。你该怎么办呢。。好吧卢卡斯也没有办法。。

但是，但是，如果MOD上一个素数P，结果就会很小，有人会说，我直接一边乘一边mod呗。。不是一样吗。。
我相信卢卡斯不会闲着没事干干这种事的，，，瞎掰个定理来玩你。。。

试想若果你乘的阶乘里面有一个modP等于0的数呢。。sisisisis。。不太好，不太好。。。
可是我们的这个n！/（m！*！（n-m））除后得到的结果是不会是P的倍数的（一般）；

所以下面就正式来讲lucas（n+m，m）这个蛇皮的东西

首先lucas既然是为了将天文数字降下来。。。那么我们的初始化。要初始化多少捏。。。

准确的说是1！------P！，都要用到。。原因是代码中会讲；

第一段
初始化
本人手懒就std关库cin了

std::ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n>>m>>p; fac[0]=1; 
		for(int i=1; i<=p; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%p; 
		cout<<lucas(n+m,m)%p<<endl;

你问为神马是n+m，m吗
额
你问你谷zcy这位管理员去，这个锅我不背
你谷卢卡斯定理模板

下面我们就简化成n和m即n=原来的n+m，m也就显而易见了

lucas定理主要证明就是（x） 我不会

他们都贴的是冯志刚的37页初等数论。。可惜我数竞太差了，，看不懂。。

所以友善的贴一下另一位大佬的证明博客
记得回来呀

所以我们得出
lucas（n,m）=lucas(n/P,m/P)*C(n%P,m%P) 的一条公式

诶你说和你之前看的不一样，，额，那种写法被我抛弃了。。
简单贴一下那种代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e5,N=1e5+10;
ll p,a[N],b[N];
ll Lucas(ll x,ll y) {
	if (x<y) return 0;
	if (x<p&&y<p) return a[x]*b[x-y]%p*b[y]%p;
	return Lucas(x%p,y%p)*Lucas(x/p,y/p)%p;
}
int main() {
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--) {
		ll n,m;
		scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
		n+=m;
		a[0]=1;
		for (register ll i=1; i<=p-1; ++i) a[i]=a[i-1]*i%p; 
		b[1]=1;
		for (register ll i=2; i<=p-1; ++i) b[i]=((-p/i*b[p%i])%p+p)%p; 
		b[0]=1;
		for (register ll i=1; i<=p-1; ++i) b[i]=b[i]*b[i-1]%p; 
		printf("%lld\n",Lucas(n,m)); 
	}
	return 0;
}

不知道为什么之前的注释会乱码，，不放上去了。。

然后我们会惊奇的发现C（n%P,m%P）我们是能求的

这里要用到逆元的知识，本人不在普及，，

即C下n！/（m！*（n-m）！） n！，m！，（n-m）！我们都求出来了？？？？？为啥

我们看看前面的

首先lucas既然是为了将天文数字降下来。。。那么我们的初始化。要初始化多少捏。。。
准确的说是1！------P！，都要用到。。原因是代码中会讲；

终于用到了，，呵呵。。都%过了，还怕比他大？

所以一切结束

贴代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,p,T,fac[100010];
long long fpow(int x,int y){
    long long res=x; y--;
    while(y){if (y&1) res=1ll*res*x%p; 
    x=1ll*x*x%p; y/=2;  }return res; 
}
long long C(int n,int m){
    if (m>n) return 0; 
    return (fac[n]*fpow((fac[m]*fac[n-m])%p,p-2)%p);
}
long long lucas(int n,int m){
    if (m==0) return 1; 
    return (lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p))%p;}
int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n>>m>>p; fac[0]=1; 
        for(int i=1; i<=p; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%p; 
        cout<<lucas(n+m,m)%p<<endl;
    }
}

代码略丑，大佬勿喷。。。

																		THE END