LeetCode172. Factorial Trailing Zeroes

题目

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Example 1:

Input: 3 Output: 0 Explanation: 3! = 6, no trailing zero. Example 2:

Input: 5 Output: 1 Explanation: 5! = 120, one trailing zero. Note:
Your solution should be in logarithmic time complexity.

想记录一下这道题的原因还是今天恰好碰到了一道笔试题，问到的是一串数字的积，它的末尾有多少个0，看到这题就想到了LeetCode的这题，顺便记录一下。

题意很简单，就是给一个数n，让你找出n的阶乘末尾有几个0，比如n=3,3的阶乘是6，没有0，再比如n=5，阶乘是120，有一个0.

题解

解法一：暴力（会超时）

最简单的想法就是把阶乘求出来，然后再依次看它末尾有几个0，但是n如果很大，这个数能不能表示出来都是问题，然后再求末尾0肯定超时。而且题目要求是在对数时间范围内求解。

解法二：找规律

想一下要使得末尾出现0，那么意味着是10的倍数，也就意味着需要知道这些数的乘积中有多少个可以拎出来的10，而10又是可以拆成2乘5，所以我们可以把问题转换成这些乘数中能质因数分解成多少个2和5的乘积对。
进一步，我们知道只要是大于等于2的数，它的阶乘中拆成的2的数量肯定是比5多的，因为每一个偶数就可以拆一个2出来，但是5需要5的倍数来拆，所以这个问题又进一步化成求乘数中有多少个5

那么最简单的做法，就是对每一个数，看是不是5的倍数，是就加一，最后加出来的结果就是0的个数。但是注意还有一些特殊的数字，比如25,125这种5的乘方，它们提供的5的数量不止普通的5的个数，所以需要单独考虑，比如5的非乘方倍数就提供一个5，而5的平方25的倍数就提供2个5，比如25,50,75…，再比如5的立方就提供3个5，比如125,625…
这样一看，我们的思路就清晰了，只需要在不超过n的范围内，对5的1次，2次，…n次的平方的倍数分别加上其对应提供的5的数量就是题目所需要的答案。

进一步思考，由于5的2次方就一定是5的1次方的倍数，而5的3次方一定是5的2次方的倍数，也就是说我们在算5的一次方提供的5的数量的时候，同时把2次方，3次方…n次方的那一份5也算进去了，接着我们在算5的二次方的提供的5的数量的时候，由于已经在一次方算了一次，原本应该需要乘2的这里只需要乘1，类似的，三次方被一次和两次都算了一个5，它原本提供3个5的现在也只需要提供一个5,所以对1,2，3…次方都只需要乘1倍，也就是相当于做加法

一定要理解这段话才能理解下面的代码：

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        int ret = 0;
        for (long long i = 5; i <= n; i *= 5) {
            ret += n / i; //只需要加上n / i而不用乘以它对应的提供的5的数量，原因上面解释了
        }
        return ret;
    }
};

这个代码每次i都在乘以5，呈指数的上升速度，所以时间复杂度是对数级别，满足题目要求