线性代数【一】：行列式的概念与计算

最新推荐文章于 2025-09-24 22:20:59 发布

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#线性代数 #数学

本文涵盖行列式的概念与计算，包括几何意义、展开计算、性质及特殊行列式，如上/下三角行列式、副对角线行列式、拉普拉斯展开式、范德蒙行列式和行和相等行列式。同时介绍了克拉默法则及其应用。

本节为线性代数复习笔记的第一部分，行列式的概念与计算，主要包括：行列式的几何意义，行列式的展开计算（余子式，代数余子式），行列式的性质，特殊的五个行列式以及克拉默法则。

1. 行列式的几何意义

$\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix} \right|$ 表示平行四边形的面积，记 $\alpha_1=[a_{11},a_{12}]$ ， $\alpha_2=[a_{21},a_{22}]$ ，如下图所示，两个向量所成平行四边形为OABC：
在这里插入图片描述
二阶行列式的值即为该平行四边形的面积，推导如下：

同理，三阶行列式可以表示平行六面体的体积。

2. 行列式展开计算

2.1 余子式

n阶行列式中，去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ 。

2.2 代数余子式

$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

2.3 行列式展开式

|A|= $\begin{cases}a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\Sigma_{j=1}^na_{ij}A_{ij}(按行展开)\\ a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\Sigma_{i=1}^na_{ij}A_{ij}(按列展开)\end{cases}$
【计算时应令某行/列出现尽可能多的零】

3. 行列式的七个性质

行列互换，行列式值不变，即|A|=|A^T|
行列式某行/列元素全为0，行列式值为0
行列式某行/列元素有非零公因子k，可将k提到行列式外
行列式某行/列元素均是两个元素之和，可将行列式拆为两个行列式之和
行列式某两行/列互换，行列式值反号
行列式某两行/列元素相等或成比例，行列式值为0
行列式某行/列的k倍加到另一行/列，行列式值不变

4.五个特殊的行列式

4.1 上/下三角行列式

$\left| \begin{matrix} a_{11}&0&...&0\\a_{11}&a_{22}&...&0 \\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\0&a_{22}&...&a_{2n} \\...&...&...&...\\0&0&...&a_{nn} \end{matrix} \right|$