本文涵盖行列式的概念与计算，包括几何意义、展开计算、性质及特殊行列式，如上/下三角行列式、副对角线行列式、拉普拉斯展开式、范德蒙行列式和行和相等行列式。同时介绍了克拉默法则及其应用。
本节为线性代数复习笔记的第一部分，行列式的概念与计算，主要包括：行列式的几何意义，行列式的展开计算（余子式，代数余子式），行列式的性质，特殊的五个行列式以及克拉默法则。
1. 行列式的几何意义
∣
a
11
a
12
a
21
a
22
∣
\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix} \right|
∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣表示平行四边形的面积，记
α
1
=
[
a
11
,
a
12
]
\alpha_1=[a_{11},a_{12}]
α1=[a11,a12]，
α
2
=
[
a
21
,
a
22
]
\alpha_2=[a_{21},a_{22}]
α2=[a21,a22]，如下图所示，两个向量所成平行四边形为OABC：
二阶行列式的值即为该平行四边形的面积，推导如下：
同理，三阶行列式可以表示平行六面体的体积。
2. 行列式展开计算
2.1 余子式
n阶行列式中，去掉元素 a i j a_{ij} aij所在的第 i i i行第 j j j列的元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为元素 a i j a_{ij} aij的余子式，记为 M i j M_{ij} Mij。
2.2 代数余子式
A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} Aij=(−1)i+jMij
2.3 行列式展开式
|A|=
{
a
i
1
A
i
1
+
a
i
2
A
i
2
+
.
.
.
+
a
i
n
A
i
n
=
Σ
j
=
1
n
a
i
j
A
i
j
(
按
行
展
开
)
a
1
j
A
1
j
+
a
2
j
A
2
j
+
.
.
.
+
a
n
j
A
n
j
=
Σ
i
=
1
n
a
i
j
A
i
j
(
按
列
展
开
)
\begin{cases}a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\Sigma_{j=1}^na_{ij}A_{ij}(按行展开)\\ a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\Sigma_{i=1}^na_{ij}A_{ij}(按列展开)\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin =Σj=1naijAij(按行展开)a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj =Σi=1naijAij(按列展开)
【计算时应令某行/列出现尽可能多的零】
3. 行列式的七个性质
- 行列互换，行列式值不变，即|A|=|A^T|
- 行列式某行/列元素全为0，行列式值为0
- 行列式某行/列元素有非零公因子k，可将k提到行列式外
- 行列式某行/列元素均是两个元素之和，可将行列式拆为两个行列式之和
- 行列式某两行/列互换，行列式值反号
- 行列式某两行/列元素相等或成比例，行列式值为0
- 行列式某行/列的k倍加到另一行/列，行列式值不变
4.五个特殊的行列式
4.1 上/下三角行列式
∣
a
11
0
.
.
.
0
a
11
a
22
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
a
n
2
.
.
.
a
n
n
∣
=
∣
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
0
a
22
.
.
.
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
a
n
n
∣
\left| \begin{matrix} a_{11}&0&...&0\\a_{11}&a_{22}&...&0 \\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\0&a_{22}&...&a_{2n} \\...&...&...&...\\0&0&...&a_{nn} \end{matrix} \right|
∣∣∣∣∣∣∣∣a11a11...an10a22...an2............00...ann∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣a110...0a12a22...0............a1na2n...ann∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣
a
11
a
22
.
.
.
a
n
n
∣
=
∏
i
=
1
n
a
i
i
=\left| \begin{matrix} a_{11}&&&\\&a_{22}\\&&...&\\&&&a_{nn}\end{matrix} \right|=\prod^n_{i=1}a_{ii}
=∣∣∣∣∣∣∣∣a11a22...ann∣∣∣∣∣∣∣∣=∏i=1naii
4.2 副对角线行列式
∣
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
a
11
a
22
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
0
.
.
.
0
∣
=
∣
0
0
.
.
.
a
1
n
0
0
.
.
.
a
22
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
a
n
,
2
.
.
.
a
n
n
∣
\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{11}&a_{22}&...&0 \\...&...&...&...\\a_{n1}&0&...&0 \end{matrix} \right| =\left| \begin{matrix} 0&0&...&a_{1n}\\0&0&...&a_{22} \\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n,2}&...&a_{nn} \end{matrix} \right|
∣∣∣∣∣∣∣∣a11a11...an1a12a22...0............a1n0...0∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣00...an100...an,2............a1na22...ann∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣
a
1
n
a
2
，
n
−
1
.
.
.
a
n
1
∣
=\left| \begin{matrix} &&&a_{1n}\\&&a_{2，n-1}\\&&...&\\a_{n1}&&&\end{matrix} \right|
=∣∣∣∣∣∣∣∣an1a2，n−1...a1n∣∣∣∣∣∣∣∣
4.3 特殊的拉普拉斯展开式
∣ A m × m O O B n × n ∣ = ∣ A C O B ∣ = \left|\begin{matrix}A_{m\times m}&O\\O&B_{n\times n}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}A&C\\O&B\end{matrix}\right|= ∣∣∣∣Am×mOOBn×n∣∣∣∣=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣= ∣ A O C B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \left|\begin{matrix}A&O\\C&B\end{matrix}\right|=|A||B| ∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣=∣A∣∣B∣
∣ O A n × n B m × m O ∣ = ∣ C A B O ∣ = ∣ O A B C ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ \left|\begin{matrix}O&A_{n\times n}\\B_{m\times m}&O\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}C&A\\B&O\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}O&A\\B&C\end{matrix}\right|=(-1)^{mn}|A||B| ∣∣∣∣OBm×mAn×nO∣∣∣∣=∣∣∣∣CBAO∣∣∣∣=∣∣∣∣OBAC∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣∣B∣
4.4 范德蒙行列式
∣ x 1 0 x 2 0 . . . x n 0 x 1 1 x 2 1 . . . x n 1 . . . . . . . . . . . . x 1 n − 1 x 2 n − 1 . . . x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ i ≤ j ≤ n ( x j − x i ) \left|\begin{matrix}x_1^0&x_2^0&...&x_n^0\\x_1^1&x_2^1&...&x_n^1\\...&...&...&...\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&...&x_n^{n-1}&\end{matrix}\right|=\prod_{1\leq i\leq j\leq n}(x_j-x_i) ∣∣∣∣∣∣∣∣x10x11...x1n−1x20x21...x2n−1............xn0xn1...xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣=∏1≤i≤j≤n(xj−xi)
4.5 行和相等行列式
∣
a
b
b
.
.
.
b
b
a
b
.
.
.
b
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b
b
b
.
.
.
a
∣
=
[
a
+
(
n
−
1
)
b
]
(
a
−
b
)
n
−
1
\left|\begin{matrix}a&b&b&...&b\\b&a&b&...&b\\...&...&...&...&...\\b&b&b&...&a\end{matrix}\right|=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}
∣∣∣∣∣∣∣∣ab...bba...bbb...b............bb...a∣∣∣∣∣∣∣∣=[a+(n−1)b](a−b)n−1
推导的话，可以将1~n-1行都加到最后一行，提公因数[a+(n-1)b]，然后把最后一行的-1倍逐一加到各行，将行列式按第一行展开。
5. 抽象型计算
e
g
.
eg.
eg.
α
1
,
α
2
,
α
3
,
β
,
γ
均
为
4
维
列
向
量
，
且
∣
γ
,
α
1
,
α
2
,
α
3
∣
=
n
\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta,\gamma均为4维列向量，且|\gamma,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=n
α1,α2,α3,β,γ均为4维列向量，且∣γ,α1,α2,α3∣=n，
∣
α
1
,
β
+
γ
,
α
2
,
α
3
∣
=
m
，
则
∣
α
1
,
α
2
,
α
3
,
3
β
∣
=
_
_
_
|\alpha_1,\beta+\gamma,\alpha_2,\alpha_3|=m，则|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,3\beta|=\_\_\_
∣α1,β+γ,α2,α3∣=m，则∣α1,α2,α3,3β∣=___.
解
：
∣
α
1
,
α
2
,
α
3
,
3
β
∣
=
3
∣
α
1
,
α
2
,
α
3
,
β
∣
=
3
[
∣
α
1
,
β
+
γ
,
α
2
,
α
3
∣
+
∣
γ
,
α
1
,
α
2
,
α
3
∣
]
=
3
(
m
+
n
)
解：|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,3\beta|=3|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta|=3[|\alpha_1,\beta+\gamma,\alpha_2,\alpha_3|+|\gamma,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|]=3(m+n)
解：∣α1,α2,α3,3β∣=3∣α1,α2,α3,β∣=3[∣α1,β+γ,α2,α3∣+∣γ,α1,α2,α3∣]=3(m+n)
（行列式列互换，值反号）
6. 克拉默法则
由n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组：
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
.
.
.
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
.
.
.
+
a
2
n
x
n
=
b
2
.
.
.
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
n
x
n
=
b
n
\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2...an1x1+an2x2+...+annxn=bn
若该方程组的系数行列式|A|
≠
0
\neq 0
=0，则方程组有唯一解:
x
i
=
∣
A
i
∣
∣
A
∣
x_i=\frac{|A_i|}{|A|}
xi=∣A∣∣Ai∣
∣ A i ∣ |A_i| ∣Ai∣表示|A|中第i列元素替换成常数项 b 1 , b 2 , . . . , b n b_1,b_2,...,b_n b1,b2,...,bn之后所构成的行列式。
推论： 由n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组：
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
.
.
.
+
a
1
n
x
n
=
0
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
.
.
.
+
a
2
n
x
n
=
0
.
.
.
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
n
x
n
=
0
\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0\\ ...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0...an1x1+an2x2+...+annxn=0
若该方程组的系数行列式|A| ≠ 0 \neq 0 =0，则方程组有唯一零解。若有非零解，则|A|=0。
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