线性代数（1）行列式运算

前言

想要深入了解机器学习的知识，就必须学好线性代数。笔者本科期间完美的错过了高数和线性代数，倒不是说没有这个课，实在是由于当时觉得数学并没有什么o用，上课全打豆豆了。既然是以前挖的坑，总归是自己要填的，因此从本篇起，将陆续介绍线性代数的基本知识，捎带手熟悉LaTex的使用。

概念

行列式是指行数等于列数的矩阵（也叫方阵）
二阶行列式即2 * 2的矩阵：$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$
三阶行列式即3 * 3的矩阵：$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$

运算

对于一个二阶行列式：
$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc$$
也即右对角线之积减去左对角线之积。
例如$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=1\ast 4-2\ast 3=-2$
对于三阶以及多阶行列式：
需要经过变换使得对角线左下角数字全为0，最后的结果是对角线数字的乘积：
$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ h& i& j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_i& b_i& c_i\\ 0& e_i& f_i\\ 0& 0& j_i\end{array}\right]=a_i\ast e_i\ast j_i$$
如何变换才能得到左下角全为0的矩阵呢，这就需要知道行列式的一些的性质

运算性质：

• （1）某行（列）加上（减去）另外一行（列）的n倍，矩阵不变
• （2）某行（列）乘k,等于k乘此行列式
• （3）互换2行（列），行列式变号

例1.
对于矩阵$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$
先$r_2-2r_1$，其他行不变，即$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2-2\ast 1& 1-2\ast 0& 1-2\ast 2\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$得到$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& -3\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$
然后$r_3-r_1$即$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& -3\\ 1-1& 1-0& 1-2\end{array}\right]$得到$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& -3\\ 0& 1& -1\end{array}\right]$
再$r_3-r_2$即$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& -3\\ 0-0& 1-1& -1-(-3)\end{array}\right]$
最终得到$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$
对角线乘积为$1\ast 1\ast 2=2$

例2.
已知矩阵$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=-2$，求$\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 4\end{array}\right]$?
待求解的行列式第一行是已知矩阵第一行的2倍，其他行与已知矩阵也一样，由性质2可知：$\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1\ast 2& 2\ast 2\\ 3& 4\end{array}\right]=2\ast \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=2\ast (-2)=-4$，
同样我们也可由对角线原理求得
$\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 4\end{array}\right]=2\ast 4-4\ast 3=-4$，
得到一样的结果。

例3.已知矩阵$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=-2$，求$\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right]$？
待求解的矩阵与已知矩阵相比，仅仅只是$r_1$与$r_2$互换，因此根据性质3，可得
$\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right]=-1\ast \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=2$
同样我们也可由对角线原理求得
$\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right]=3\ast 2-4\ast 1=2$
得到同样的结果。