37、数学问题与二重积分的深入解析

数学问题与二重积分的深入解析

1. 矩形分割与函数最值问题

1.1 矩形面积函数的最值求解

考虑一个大矩形被分割为四个小矩形，其面积分别为 (D_1 = xy)，(D_2 = (L - x)y)，(D_3 = (L - x)(W - y))，(D_4 = x(W - y))。定义函数 (f(x,y)=D_1^2 + D_2^2 + D_3^2 + D_4^2)，经化简可得 (f(x,y)=[x^2+(L - x)^2][y^2+(W - y)^2])。
- 求偏导数找临界点 ：
- 对 (x) 求偏导数 (f_x(x,y)=[2x - 2(L - x)][y^2+(W - y)^2]=0)，解得 (x = \frac{1}{2}L)。
- 对 (y) 求偏导数 (f_y(x,y)=[x^2+(L - x)^2][2y - 2(W - y)]=0)，解得 (y = \frac{1}{2}W)。
- 再求二阶偏导数 (f_{xx}=4[y^2+(W - y)^2])，(f_{yy}=4[x^2+(L - x)^2])，(f_{xy}=(4x - 2L)(4y - 2W))，计算判别式 (G = 16[y^2+(W - y)^2][x^2+(L - x)^2]-(4x - 2L)^2(4y - 2W)^2)。当 (x = \frac{1}{2}L) 且 (y = \frac{1}{2}W) 时，(G>0) 且 (f_{xx}=2W^2>0)，所以函数 (f) 在 ((\frac{1}{2}L,\frac{1}{2}W)) 处取得最小值，最小值为 (f(\frac{1}{2}L,\frac{1}{2}W)=\fra