最优布线问题&普里姆算法【最小生成树】

最优布线问题&普里姆算法

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Case Time Limit:1000MS

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Description
学校有n台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们之间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。
当然，如果将任意两台计算机都用数据线连接，费用将是相当庞大的。为了节省费用，我们采用数据的间接传输手段，即一台计算机可以间接的通过若干台计算机（作为中转）来实现与另一台计算机的连接。
现在由你负责连接这些计算机，你的任务是使任意两台计算机都连通（不管是直接的或间接的）。

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Input
输入文件$wire.in$，第一行为整数 $n$$（2<=n<=100）$，表示计算机的数目。此后的$n$行，每行$n$个整数。第$x+1$行$y$列的整数表示直接连接第$x$台计算机和第$y$台计算机的费用。

Output
输出文件$wire.out$，一个整数，表示最小的连接费用。

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Sample Input
3
0 1 2
1 0 1
2 1 0

Sample Output
2（注：表示连接1和2，2和3，费用为2）

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Hint
$Fillchar$$(f,sizeof(f),$$$7f)$ 把所有值赋值为最大

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解题思路

算法分析&思想讲解： $Prim$算法每次循环都将一个蓝点$u$变为白点，并且此蓝点$u$与白点相连的最小边权$min[u]$还是当前所有蓝点中最小的。这样相当于向生成树中添加$n-1$次最小的边，最后得到的一定是最小生成树。

初始时所有点都是蓝点，$min[1]=0，min[2、3、4、5]=$无穷大。权值之和$=0$。

第一次循环自然是找到min[1]=0最小的蓝点1。将1变为白点，接着枚举与1相连的所有蓝点2、3、4，修改它们与白点相连的最小边权。
$min[2]=a[1][2]=2；$ $min[3]=a[1][3]=4；$ $min[4]=a[1][4]=7；$ $min[5]=\infty ；$

第二次循环是找到min[2]最小的蓝点2。将2变为白点，接着枚举与2相连的所有蓝点3、5，修改它们与白点相连的最小边权。
$min[3]=a[2][3]=1；$ $min[5]=a[2][5]=2；$

第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变为白点，接着枚举与3相连的所有蓝点4、5，修改它们与白点相连的最小边权。
$min[4]=w[3][4]=1；$
由于$min[5]=2<w[3][5]=6；$所以不修改$min[5]$的值。
注意：这里是指一个蓝点到白点集合的最短距离，不是道一个白点的距离。
例：3到白点集合的最短距离为1。

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代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,a[200][200],minn[200],v[200],ans,k;//minn存放蓝点i到白点的最短距离，v标记i是否已经加入最小生成树
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		cin>>a[i][j];
	}
	memset(minn,0X7f,sizeof(minn));//初始设为无穷大
	minn[1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)//要连n个点
	{
		k=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)//找一个与白点相连的权值最小的蓝点k
		{
		   if(!v[j]&&minn[j]<minn[k])
	     	  k=j;
		}
		v[k]=1;
		for(int j=1;j<=n;j++)//修改与k相连的所有蓝点
		{
			if(a[k][j]<minn[j]&&!v[j])
			minn[j]=a[k][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	ans+=minn[i];
	cout<<ans;
}