兩獨立高斯隨機變數之和

$$X+Y\sim \mathcal{N}({\mu }_X+{\mu }_Y,{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2)$$

以下證明參考Sum of normally distributed random variables - Proof using characteristic functions。

兩個隨機變數$X,Y$的特徵函數定義如下：
$${\phi }_X(t)=E\left(e^{itX}\right),{\phi }_Y(t)=E\left(e^{itY}\right)$$

假設$X$和$Y$皆為高斯隨機變數，且互相獨立：

$\begin{array}{rlrl}{\phi }_{X+Y}(t)& ={\phi }_X(t){\phi }_Y(t)& & \text{X,Y互相獨立}\\ & =\exp \left(it{\mu }_X-\frac{{\sigma }_X^2{t}^2}{2}\right)\exp \left(it{\mu }_Y-\frac{{\sigma }_Y^2{t}^2}{2}\right)& & \text{高斯隨機變數的特徵函數：}\phi (t)=\exp \left(it\mu -\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}\right)\\ & =\exp \left(it({\mu }_X+{\mu }_Y)-\frac{({\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2)t^2}{2}\right).& & \end{array}$

得到一個平均值為${\mu }_X+{\mu }_Y$，變異數為${\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2$的高斯隨機變數的特徵函數。

其中第一個等號參考兩獨立隨機變數之和的特徵函數。

參考Characteristic function (probability theory)：

There is a bijection between probability distributions and characteristic functions. That is, for any two random variables X1, X2, both have the same probability distribution if and only if ${\phi }_{X_1}={\phi }_{X_2}$

也就是說如果隨機變數不同，那麼它們的特徵函數一定也不同。因此可以確定高斯隨機變數$X+Y$一定是以下的常態分布：

$$X+Y\sim \mathcal{N}({\mu }_X+{\mu }_Y,{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2)$$

其它參考連結：
Gaussian random vector
The Multivariate Gaussian Distribution