向上取整数学原理

在整数除法中，使用表达式 (a + b - 1) / b 可以实现‌向上取整‌的效果。其核心原理是通过调整分子，使得余数部分自动触发进位。

1. 基本原理‌

假设 a 和 b 是正整数，目标是计算 ceil(a / b)（即不小于 a/b 的最小整数）。
由于编程语言中的整数除法默认是‌向下取整‌的（如 5/2=2），需要通过调整分子实现向上取整。

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‌2. 数学推导‌

设 a = q*b + r，其中：

• q 是商（整数部分），
• r 是余数（0 ≤ r < b）。

需要分两种情况讨论：

‌情况1：余数 r = 0‌

• 此时 a/b = q，直接返回 q 即可。
• 表达式计算：
  (a + b - 1)/b = (q*b + b - 1)/b = q + (b - 1)/b
  由于 (b-1)/b 的整数除法结果为 0，最终值为 q，符合预期。

‌情况2：余数 r > 0‌

• 此时 a/b = q + r/b，向上取整应为 q + 1。
• 表达式计算：
  (a + b - 1)/b = (q*b + r + b -1)/b = q + (r + b -1)/b
  由于 r ≥ 1，且 r + b -1 ≥ b，因此 (r + b -1)/b 的整数除法结果为 1，最终值为 q + 1，符合预期。

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‌3. 公式特性‌

• ‌通用性‌：无论 a 是否为 b 的整数倍，公式均适用。
• ‌边界示例‌：
  • a=10, b=3:
    (10 + 3 -1)/3 = 12/3 = 4（10/3=3.333，向上取整为4）。
  • a=9, b=3:
    (9 + 3 -1)/3 = 11/3 = 3（9/3=3，向上取整仍为3）。

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‌4. 代码中的应用‌

在给定的代码片段中，该公式用于两类计算：

‌1. 计算步长（repeated_step）‌

cCopy Code

ctrl_para->repeated_step = (sample_para->num + MAG_DEV_FAM_STRENGTH_LIST_MAX_LEN - 1) / MAG_DEV_FAM_STRENGTH_LIST_MAX_LEN;

• ‌目标‌：将 num 个采样点压缩到不超过 MAG_DEV_FAM_STRENGTH_LIST_MAX_LEN 的数组中。
• ‌逻辑‌：
  若 num 超过最大长度，通过增大步长（repeated_step），将多个采样点合并为一个存储点。

‌2. 计算有效点数（valid_num）‌

cCopy Code

ctrl_para->valid_num = (sample_para->num + ctrl_para->repeated_step - 1) / ctrl_para->repeated_step;

• ‌目标‌：确保有效点数不超过存储容量。
• ‌逻辑‌：
  根据步长计算实际需要存储的点数，避免数组越界。

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‌5. 实际效果示例‌

参数	计算步骤	结果
num=100, MAX_LEN=20	(100+20-1)/20 = 119/20 = 5 → 步长=5 valid_num=(100+5-1)/5=104/5=20	压缩为20个点
num=101, MAX_LEN=20	(101+20-1)/20=120/20=6 → 步长=6 valid_num=(101+6-1)/6=106/6=17.666→18	压缩为18个点

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‌6. 总结‌

• ‌公式本质‌：通过调整分子，将余数的影响转换为进位。
• ‌代码意义‌：在资源受限的场景中，通过数学技巧实现数据压缩，确保不越界且保留关键信息。