动态规划之最长公共子序列

问题分析：

求两个数组的公共子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

代码如下：

共有三种回溯输出公共自序列的方法。

//动态规划题目
//最长公共子序列
#include<stdio.h>
#include<malloc.h>
#include<assert.h>

void Fun(int *p, int *q, int **r, int lengthp, int lengthq);
int main()
{
	int lengthp;
	int lengthq;
	int *p, *q;
	int **r;  //保存最长公共子序列的长度
	int i;
	printf("请输入两个序列的长度\n");
	scanf("%d %d", &lengthp, &lengthq);
	
	p = (int *)malloc(sizeof(int) * lengthp);
	assert(p != NULL);

	printf("输入序列p的值\n");
	for(i = 0; i < lengthp; i++)
		scanf("%d", p+i);
	
	q = (int *)malloc(sizeof(int) * lengthq);
	assert(q != NULL);

	printf("输入序列q的值\n");
	for(i = 0; i < lengthq; ++i)
		scanf("%d", q+i);

	r = (int **)malloc(sizeof(int *) * (lengthp+1));
	assert(r != NULL);
	for(i = 0; i < lengthp+1; ++i)
	{
		r[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * (lengthq+1));
		assert(r[i] != NULL);
	}
	Fun(p, q, r, lengthp, lengthq);
	free(p);
	free(q);
	for(i = 0; i < lengthp; i++)
		free(r[i]);
	return 0;
}

void Fun(int *p, int *q, int **r, int lengthp, int lengthq)
{
	void Print(int *p, int *q, int **Res, int lengthp, int lengthq);
	void Print1(int *p, int *q, int **Res, int lengthp, int lengthq, int max);
	void Print2(int *p, int *q, int **Res, int lengthp, int lengthq, int max);
	int **Res; //保存子序列的输出方向
	int i, j;
	int max = 0; //最长公共子序列的长度
	Res = (int **)malloc(sizeof(int *) * (lengthp+1));
	assert(Res != NULL);
	for(i = 0; i < lengthp+1; ++i)
	{
		Res[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * (lengthq+1));
		assert(Res[i] != NULL);
	}

	for(i = 0; i < lengthp+1; ++i)
		for(j = 0; j < lengthq+1; ++j)
			Res[i][j] = 0;

	for(i = 0; i < lengthp+1; ++i)
		r[i][0] = 0;
	for(i = 0; i < lengthq+1; ++i)
		r[0][i] = 0;

	for(i = 1; i < lengthp+1; ++i)
	{
		for(j = 1; j < lengthq + 1; ++j)
		{
			if(p[i-1] == q[j-1])
			{
				r[i][j] = r[i-1][j-1] + 1;
				Res[i][j] = 0; //搜索左上角
			}
			else if(r[i-1][j] > r[i][j-1])
			{
				r[i][j] = r[i-1][j];
				Res[i][j] = -1;//上方
			}
			else
			{
				r[i][j] = r[i][j-1];
				Res[i][j] = 1;//左面
			}
		}
	}

	for(i = 0; i < lengthp+1; ++i) //观察结果
	{
		for(j =0; j < lengthq+1; ++j)
			printf("%d ", r[i][j]);
		printf("\n");
	}
	printf("\n");

	for(i = 0; i < lengthp+1; ++i)//观察结果
	{
		for(j =0; j < lengthq+1; ++j)
			printf("%2d ", Res[i][j]);
		printf("\n");
	}
	printf("\n");
		

	for(i = 0; i < lengthp+1; ++i)
		for(j = 0; j < lengthq+1; ++j)
			if(max < r[i][j])
				max = r[i][j];
	printf("最长公共子序列的长度为%d ", max);
	//Print(p, q, Res, lengthp, lengthq);
	//Print1(p, q, r, lengthp, lengthq, max);
	Print2(p, q, Res, lengthp, lengthq, max);

	for(i =0; i < lengthp+1; ++i)
		free(Res[i]);
}

void Print(int *p, int *q, int **Res, int lengthp, int lengthq)
{
	if(lengthp < 1 || lengthq < 1)
		return;
	if(Res[lengthp][lengthq] == 0)
	{
		Print(p, q, Res, lengthp-1, lengthq-1);
		assert(p[lengthp-1] == q[lengthq-1]);
		printf("%d ", p[lengthp-1]);
	}
	else if(Res[lengthp][lengthq] == -1)
	{
		Print(p, q, Res, lengthp-1, lengthq);
	}
	else if(Res[lengthp][lengthq] == 1)
	{
		Print(p, q, Res, lengthp, lengthq-1);
	}
}

void Print1(int *p, int *q, int **Res, int lengthp, int lengthq, int max)
{
	int *temp;
	int i, j;
	int m = max;
	temp = (int *)malloc(sizeof(int) * m);
	assert(p != NULL);
	i = lengthp;
	j = lengthq;
	while(i >0 && j > 0 && m >= 0)
	{
		if(p[i-1] == q[j-1])
		{
			temp[m-1] = p[i-1];
			i--;
			j--;
			m--;
		}
		else if(Res[i-1][j] > Res[i][j-1])
		{
			i--;
		}
		else 
		{
			j--;
		}
	}
	for(i = 0; i < max; ++i)
		printf("%d ", temp[i]);
	free(temp);
} 

void Print2(int *p, int *q, int **Res, int lengthp, int lengthq, int max)
{
		int *temp;
	int i, j;
	int m = max;
	temp = (int *)malloc(sizeof(int) * m);
	assert(p != NULL);
	i = lengthp;
	j = lengthq;
	while(i >0 && j > 0 && m >= 0)
	{
		if(Res[i][j] == 0 && p[i-1] == q[j-1])
		{
			temp[m-1] = p[i-1];
			i--;
			j--;
			m--;
		}
		else if(Res[i][j] == -1)
		{
			i--;
		}
		else if(Res[i][j] == 1)
		{
			j--;
		}
	}
	for(i = 0; i < max; ++i)
		printf("%d ", temp[i]);
	free(temp);
}