本文详细阐述了树的基本概念，二叉树的简单性质，存储方式，以及关键操作如前中后序遍历、层序遍历和构造二叉树的方法。重点介绍了完全二叉树和如何通过遍历序列确定树的形态。
目录
1. 树的基本概念
树与非树？
树的定义：
- 子树是不相交的；
- 除了根节点之外，每个节点有且只有一个父节点；
- 一颗N个节点的树有N-1条边。（重要，这为我们下面推导一个公式奠定了基础）
概念（重要）
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点：度不为0的结点；
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
表示形式：我们对于下面讲的二叉树均已孩子表示法来介绍。
2. 二叉树的简单性质
概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：、
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
特殊的二叉树
1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是2^（k-1） ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
性质
1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1)上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：
- 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
- 若2i+1 < n，左孩子序号: 2i + 1，否则无左孩子。
- 若2i+2 < n, 左孩子序号: 2i + 1，否则无右孩子。
在这里，我们通过上图这道题来解释一下当总结点数分别为奇数和偶数时的不同情况对应的度为1的结点的数量。
答案：A
由上图可知，在完全二叉树中：
1. 偶数个节点时，n1为1,。
2.奇数个节点时，n1为0。
由于二叉树的性质，一个父节点带有两个孩子节点，根节点单独一个且完全二叉树不存在中间节点为空的情况，因此若总结点数为偶数，则倒数第二层的一个节点必仅有一个单独的叶子结点，奇数也同样类推。
二叉树的存储方式
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
我们将在本篇中介绍二叉树的链式存储，而二叉树的顺序存储由于涉及到堆的相关知识，我们将在日后讲解推的时候详细介绍这块知识。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：
// 孩子表示法
class TreeNode {
int val; // 数据域
TreeNode left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
TreeNode right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}4. 二叉树的基本操作
从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
前中后序遍历
前序：按照根、左、右的顺序遍历树
public void preTree(TreeNode root){
if (root == null){
return;
}
System.out.print(root.val + " ");
preTree(root.left);
preTree(root.right);
}中序：按照左、根、右的顺序遍历树
public void inorder(TreeNode root){
if (root == null){
return;
}
inorder(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inorder(root.right);
}后序：按照左、右、根的顺序遍历树
public void postorder(TreeNode root){
if (root == null){
return;
}
postorder(root.left);
postorder(root.right);
System.out.print(root.val + " ");
}层序遍历
层序则是一层层遍历
要实现这个功能我们需要用到一个数据结构 ------ 队列。
public void levelorder(TreeNode root){
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
if (root == null){
return;
}
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty()){
int size = queue.size();
for(int i = 0; i < size;i++){
TreeNode node = queue.poll();
System.out.print(node.val + " ");
if (node.left != null){
queue.offer(node.left);
}
if (node.right != null){
queue.offer(node.right);
}
}
}
}树中的节点个数
public int size2(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
return size2(root.left) + size2(root.right) + 1;
}获取叶子节点个数
public int getLeafSize2(TreeNode root){
if (root == null){
return 0;
}
if(root.left == null && root.right == null){
return 1;
}
return getLeafSize2(root.left) +
getLeafSize2(root.right);
}获取第K层节点的个数
public int getLevelNodesize(TreeNode root,int k){
if(root == null){
return 0;
}
if (k == 1){
return 1;
}
return getLevelNodesize(root.left,k-1) +
getLevelNodesize(root.right,k-1);
}获取二叉树的高度
public int getHeight(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeight = getHeight(root.right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1
: rightHeight + 1;
}检测值为value的元素是否存在
public TreeNode Find(TreeNode root,char target){
//先序遍历查询
if (root == null){
return null;
}
if(root.val == target){
return root;
}
TreeNode left = Find(root.left,target);
if (left != null){
return left;
}
TreeNode right = Find(root.right,target);
if (right != null){
return right;
}
return null;
}判断一棵树是不是完全二叉树
public boolean isCompelet(TreeNode root) {
if (root == null) {
return true;
}
//完全二叉树：连续，中间没有非空节点
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (queue.isEmpty()) {
int size = queue.size();
for (int i = 0; i < size; i++) {
TreeNode node = queue.poll();
if (node.left == null) {
return false;
}
queue.offer(node.left);
if (node.right == null) {
return false;
}
queue.offer(node.right);
}
}
return true;
}5. 根据前中 / 中后遍历推二叉树的形态
leetcode:105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树 - 力扣（LeetCode）
leetcode:106. 从中序与后序遍历序列构造二叉树 - 力扣（LeetCode）
解决这种问题的根本解决方案就是：
- 通过前后序找到根节点；
- 通过中序分开左子树和右子树
- 由于二叉树递归创建的性质，因此我们重复前两个步骤就能得到答案。
在这同时分享一下之前刷B站时看到一位天才想到的解决这种问题的画图大法。
链接指路：给出中序和后序序列，画二叉树_哔哩哔哩_bilibili
在这贴一下两道题的答案：
前序和中序：
class Solution {
public int preIndex = 0;
public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
return buildTreeChild(preorder,inorder,0,inorder.length - 1);
}
private TreeNode buildTreeChild(int[] preorder,int[] inorder,int inBegin,int inEnd){
if(inBegin > inEnd){
return null;
}
TreeNode root = new TreeNode(preorder[preIndex]);
int rootIndex = FindrootIndex(inorder,inBegin,inEnd,preorder[preIndex]);
preIndex++;
root.left = buildTreeChild(preorder,inorder,inBegin,rootIndex - 1);
root.right = buildTreeChild(preorder,inorder,rootIndex + 1,inEnd);
return root;
}
private int FindrootIndex(int[] inorder,int inBegin,int inEnd,int key){
for(int i = inBegin;i <= inEnd;i++){
if(inorder[i] == key){
return i;
}
}
return -1;
}
}中序和后序：
class Solution {
public int preIndex = 0;
public TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) {
preIndex = postorder.length - 1;
return buildTreeChild(inorder,postorder,0,inorder.length - 1);
}
private TreeNode buildTreeChild(int[] inorder,int[] postorder,int inBegin,int inEnd){
if(inBegin > inEnd){
return null;
}
TreeNode root = new TreeNode(postorder[preIndex]);
int rootIndex = FindrootIndex(inorder,inBegin,inEnd,postorder[preIndex]);
preIndex--;
root.right = buildTreeChild(inorder,postorder,rootIndex + 1,inEnd);
root.left = buildTreeChild(inorder,postorder,inBegin,rootIndex - 1);
return root;
}
private int FindrootIndex(int[] inorder,int inBegin,int inEnd,int key){
for(int i = inBegin;i <= inEnd;i++){
if(inorder[i] == key){
return i;
}
}
return -1;
}
}结尾
今天，通过这篇文章我们简单介绍了二叉树的基本知识，希望我的分享对你能产生帮助！
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