【动态规划】区间、计数、数位统计、状态压缩、树形DP与记忆化搜索题解与模板-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/karshey/article/details/123633969

本文介绍了AcWing算法中的区间动态规划（区间DP）在石子合并问题中的应用，以及计数动态规划在整数划分问题中的转化技巧。通过实例展示了如何将这两个复杂问题转化为简单的状态转移方程并求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

是AcWing算法基础课的笔记。

区间DP：AcWing 282. 石子合并

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=300+10;
int n,a[N],s[N];
int dp[N][N];
int main()
{
	cin>>n;
	fir(i,1,n) cin>>a[i];	
	fir(i,1,n) s[i]=s[i-1]+a[i];
	
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	fir(i,1,n) dp[i][i]=0;
	
	fir(len,2,n)//枚举长度 
		for(int i=1;i+len-1<=n;i++)//枚举起点 
		{
			int j=i+len-1;
			for(int k=i;k<j;k++)//枚举起点到终点的每一个跳板 			
				dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);
		}
	
	cout<<dp[1][n];
	return 0;
}

计数DP：AcWing 900. 整数划分

AcWing 900. 整数划分
 白马金羁侠少年大佬的题解

题解中非常精简的总结：把计数问题转化为完全背包问题。
在这里插入图片描述
对于状态转移方程，我的直观理解：
dp[i-1][j]是没有i就能组成j的方案数；
dp[i][j-i]是加上i刚好组成j的方案数。

显然，当i>j时，后者不存在。

二维的：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e3+10;
const int MOD=1e9+7;
int n;
int dp[N][N];//前i个数字组成j的方案数 
int main()
{
	cin>>n;
	fir(i,1,n) dp[i][0]=1;//都不拿也是一种方案
	
	//没有i就能组成j的方案数+加上i刚好组成j的方案数 
	fir(i,1,n)
		fir(j,1,n)
		{
			dp[i][j]=dp[i-1][j]%MOD;
			if(j>=i) dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-i])%MOD; 
		}
	
	cout<<dp[n][n];		
	return 0;
}

一维优化：（可以类比背包）
更新前的dp[j]就是dp[i-1][j]
更新前的dp[j-1]就是dp[i-1][j-1]
都是上一层。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define fir(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
const int N=1e3+10;
const int MOD=1e9+7;
int n;
int dp[N];//组成总和为i的方案数 
int main()
{
	cin>>n;
	dp[0]=1;
		
	fir(i,1,n)
		fir(j,i,n)		
			dp[j]=(dp[j]+dp[j-i])%MOD;
			
	cout<<dp[n];
	return 0;
}