特征值分解与奇异值分解含义

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#机器学习 #数据挖掘

本文介绍了特征值分解和奇异值分解的概念。特征值分解用于方阵，描述矩阵变换的主要方向，最大特征值对应的方向包含最多信息，常用于PCA降维。奇异值分解适用于任意矩阵，奇异值的重要性类似特征值，大部分信息集中在前少数奇异值中，可用于数据恢复和矩阵近似。两者中的特征向量和奇异向量都是正交的。

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一、特征值分解
1、 矩阵乘法

在介绍特征值与特征向量的几何意义之前，先介绍矩阵乘法的几何意义。

矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度的新向量。在这个变化过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某些向量只发生伸缩变换，不产生旋转效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。

比如：这里写图片描述，它对应的线性变换是下面的形式形式：

这里写图片描述

由于矩阵M是对称的，所以这个变换是一个对 x , y 轴的一个拉伸变换。【当M中元素值大于1时，是拉伸；当值小于1时，是缩短】

那么如果矩阵M不是对称的，比如：这里写图片描述，
它所描述的变换如下图所示：

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matlab矩阵特征值分解,矩阵特征值分解与奇异值分解含义解析及应用
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本文主要关注奇异值的一些特性，另外还会稍稍提及奇异值的计算，不过本文不准备在如何计算奇异值上展开太多。另外，本文里面有部分不算太深的线性代数的知识，如果完全忘记了线性代数，看本文可能会有些困难。
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这里写目录标题特征值分解和奇异值分解比较相同处不同处特征值分解特征值、特征向量特征值分解特征值分解例子奇异值分解奇异值分解奇异值分解两种方法奇异值分解例子 特征值分解和奇异值分解比较 相同处 提取一个矩阵的重要特征 不同处 面向的矩阵不同，特征值分解是面向对称矩阵；奇异值分解是任意矩阵都可以 特征值分解 特征值、特征向量 向量形式： Av=λv Av=\lambda v Av=λv 几何意义： 矩阵A与向量v相乘等于对向量进行一个线性变换（旋转和拉伸）：但这里只是进行了拉伸，拉伸的情况用λ\lamb
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m0_49673695的博客
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特征值分解 定义 特征值，特征向量 设A为数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的数λ\lambdaλ和非零向量a，使得Aa=λaAa=\lambda aAa=λa，则称λ\lambdaλ为A的一个特征值（特征根），a称为A的属于特征值λ\lambdaλ的一个特征向量。 特征值分解 （方阵An∗nA_{n*n}An∗n​可以做特征值分解的充要条件是其有n个线性无关的特征向量，即矩阵可对角化的条件。） 特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式：      &nbs
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