DNN前向传播和反向传播

深度神经网络（Deep Neural Networks）

Forward

输入: 总层数L，所有隐藏层和输出层对应的矩阵𝑊(从2开始)，偏倚向量𝑏，输入值向量𝑥
输出：输出层的输出$a^L$

1. 初始化$a^1=x$
2. $forl=2toL$：$$a^l=\sigma (z^l)=\sigma (W^l{a}^{l-1}+b^l)$$
3. 最后的结果即为输出$a^L$

Back Propagation
$$J(W,b,x,y)=\frac{1}{2}||a^L-y|{|}_2^2$$$${\delta }^L=\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^L}=(a^L-y)\odot {\sigma }^{{}^{\prime }}(z^L)$$$${\delta }^l=\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^l}=(\frac{\partial z^{l+1}}{\partial z^l}{)}^T\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^{l+1}}=(\frac{\partial z^{l+1}}{\partial z^l}{)}^T{\delta }^{l+1}$$$$z^{l+1}=W^{l+1}{a}^l+b^{l+1}=W^{l+1}\sigma (z^l)+b^{l+1}$$$${\delta }^l=(\frac{\partial z^{l+1}}{\partial z^l}{)}^T\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^{l+1}}=(W^{l+1}{)}^T{\delta }^{l+1}\odot {\sigma }^{{}^{\prime }}(z^l)$$$$\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial W^l}={\delta }^l(a^{l-1}{)}^T$$$$\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial b^l}={\delta }^l$$符号⊙代表Hadamard积，矩阵点乘

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输入: 总层数L，以及各隐藏层与输出层的神经元个数，激活函数σ，损失函数，迭代步长𝛼，最大迭代次数MAX与停止迭代阈值𝜖，m个训练样本{(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)}\{(x_1,y_1), (x_2,y_2), ..., (x_m,y_m)\}{(x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xm​,ym​)}
输出：各隐藏层与输出层的线性关系系数矩阵𝑊和偏倚向量𝑏

1. 初始化各隐藏层与输出层的线性关系系数矩阵𝑊和偏倚向量𝑏的值为一个随机值。
2. $foriterto1tomax$: 3-5
3. $fori=1tom$：
   • DNN输入$a^1=x^1$
   • $forl=2toL$，计算$a^{i,l}=\sigma (z^{i,l})=\sigma (W^l{a}^{i,l-1}+b^l)$
   • 通过损失函数计算输出层的${\delta }^{i,L}$
   • $forl=L-1to2$, 进行反向传播算法计算${\delta }^{i,l}=(W^{l+1}{)}^T{\delta }^{i,l+1}\odot {\sigma }^{{}^{\prime }}(z^{i,l})$
4. $forl=2toL$，更新第𝑙层的$W^l,b^l$:$$W^l=W^l-\alpha \sum _{i=1}^m{\delta }^{i,l}(a^{i,l-1}{)}^T$$$$b^l=b^l-\alpha \sum _{i=1}^m{\delta }^{i,l}$$
5. 如果所有𝑊, 𝑏的变化值都小于停止迭代阈值𝜖，则跳出迭代循环。
6. 输出各隐藏层与输出层的线性关系系数矩阵𝑊和偏倚向量𝑏。