树状数组模板(洛谷P3374)

（广东工业大学 ACM 寒假集训 专题五 A B）

树状数组的概念

顾名思义，树状的数组（bushi）

前置知识lowbit运算

先看，可能不知道有什么用，等一下就知道了。

比如
$lowbit(1100)=(100{)}_2=4$
$lowbit(1110)=(10{)}_2=2$
$lowbit(100)=(100{)}_2=4$

我们来看这样一个问题：

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某一个数加上 x

2.求出某区间每一个数的和

考虑朴素算法，我们使用普通数组储存，那么我们第一个操作只需要$O(1)$，但是第二个操作情况最坏是$O(n)$，如果我们进行好多好多次这样的操作，第二个操作很可能超时。所以我们使用树状数组来储存数列，使得第二个操作的复杂度降为$O(lo{g}_{2}n)$，不过第一个操作的复杂度也升高了。
这里是一个树状数组$tree$，每个元素以长条方式显示。比如$tree[8]$就是原数组从下标1到8的前缀和，
$tree[12]$就是原数组下标从9到12的前缀和，
$tree[9]$就是原数组下标9。
看起来这个数组挺复杂的，不过摸清规则就很简单了。

进一步，再来看这张图，这张图很明显能看出树的样子，父节点代表所有子节点的和。
比如$t[8]=t[4]+t[6]+t[7]$

我们先不考虑代码实现，我们先看如果这样一个树状数组，我们怎么做到刚刚提到的操作：
1.将某一个数加上 x

2.求出某区间每一个数的和

操作1： 比如我们给$a[3]$加上$k$，因为$t[3],t[4],t[8]$都有$a[3]$在里面，所以我们要给$t[3],t[4],t[8]$加$k$。那么怎么找到下标加上$k$呢，$lowbit$运算就派上用场了，当前下标加$lowbit(i)$就能得到下一个下标的位置，只要从3开始循环到末尾（不大于原数组长度）就算成功修改了。

操作2：如果要求7之前的元素的和，我们需要把$t[7],t[6],t[4]$加起来，就能得到前缀和。
操作2是操作一的反向，当前下标减$lowbit(i)$就能得到下一个下标的位置。

在b站找到一个比较好的视频，详细请看那里。

树状数组有关操作模板

1、lowbit操作

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

2、单点修改

void add(int i,int k){
    while(i<=n){
        tree[i]+=k;
        i+=lowbit(i);
    }
}

3、前缀和查询（区间查询）

int search(int i){
    int sum=0;
    while(i!=0){
        sum+=tree[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return sum;
}

1和2的运用：洛谷P3374
（广东工业大学 ACM 寒假集训 专题五 A）
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某一个数加上 x

求出某区间每一个数的和

输入格式
第一行包含两个正整数 n,m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 n 个用空格分隔的整数，其中第 i个数字表示数列第 i 项的初始值。

接下来 m 行每行包含 3 个整数，表示一个操作，具体如下：

1 x k 含义：将第 x 个数加上 k

2 x y 含义：输出区间 [x,y] 内每个数的和

输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作 22 的结果。

输入输出样例

#include<iostream>
using namespace std;
//int p[500005];
int n,m,tree[500005];//n数的个数
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
void add(int i,int a){//单点增加
    while(i<=n){
        tree[i]+=a;
        i+=lowbit(i);
    }
}
int search(int i){//前缀和查询
    int ans=0;
    while(i!=0){
        ans+=tree[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return ans;
}
int main()
{ 
    int a,b,c;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int tmp;
        scanf("%d",&tmp);
        add(i,tmp);
    }
    while(m--){
        scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
        if(a==1){
            add(b,c);
        }
        else if(a==2){
            cout<<search(c)-search(b-1)<<endl;
        }
    }
}

下面两个需要差分数组思维，详细这里不说了，上面的视频有讲。

4、区间修改和单点查询

（广东工业大学 ACM 寒假集训 专题五 B）
洛谷P3368

#include<iostream>
using namespace std;
int a[500005],tree[500005];
int t,x,y,z,n,m;
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
void add(int i,int k){
    while(i<=n){
        tree[i]+=k;
        i+=lowbit(i);
    }
}
int search(int i){
    int sum=0;
    while(i!=0){
        sum+=tree[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return sum;
}
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    while(m--){
        scanf("%d",&t);
        if(t==1){
            scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
            add(x,z);
            add(y+1,-z);
        }
        else if(t==2){
            scanf("%d",&x);
            cout<<a[x]+search(x)<<endl;
        }
    }
}