8、数字与数学中的模糊性

数字与数学中的模糊性

1. 数字比较与模糊性的引入

在一些情况中，重要的并非数字本身，而是它们之间的比较。随着成长，我们对数字的兴趣渐长，像探讨贫困和肥胖问题，都离不开数字和测量，即便近似值也可能涉及大量数值计算。我们不禁思考，数字是否总是如看上去那般精确，同时也会关注数学中普遍存在的模糊性。

2. 数学中的模糊实例

• 课堂经历 ：多年前在大学听哥德尔不完全性定理课程时，教授因黑板太小、公式太长，带学生换了个有巨大可移动黑板的大厅，这显示出模糊描述（如公式大小）对数学家的重要性。
• 数字概念的发展 ：
  • 人们花了很长时间才认识到零是一个有价值的数字并掌握其性质，大数概念的明确也经历了漫长过程。如古希腊语中的“murios”或“murioi”，其含义模糊，可译为“一万”“许多”“无数”或“无限”。
  • 英语中“infinite”一词，几个世纪前含义模糊，指“在可用时间内数不完的”。直到1875年左右，数学家乔治·康托尔给出了严格分析，将“无限”定义为成员数量多到无法被穷尽枚举的集合，如所有偶数的集合、所有大于100,000的数的集合等。此后，才能够在精确计算中使用无限大的数字。
• 数学文本结构中的模糊性 ：数学文本常围绕定理、引理和推论组织。定理是可证明为真的陈述；引理是对证明其他结果有帮助的不太重要的定理；推论是可直接从已证明定理得出的定理。但这些定义模糊，如未明确界定命题多“重要”才能称为定理，推论多“直接”从已证定理得出。同