19、多维场景的压缩渲染

多维场景的压缩渲染

1 算法基础

1.1 ROMP 算法

在压缩感知求解中，$\ell_1$ 问题理论上需要 $N = O(m \log k)$ 个样本才能唯一求解。实际使用 ROMP 算法时，大约需要 $N = 5m$ 个样本开始锁定正确解，$N = 10m$ 个样本时算法能极其稳健地工作。

1.2 SpaRSA 算法

压缩感知理论的一个关键成果是将问题转化为 $\ell_1$ 问题：
$$
\begin{align}
\min |\hat{f}| 1 \
\text{s.t. } y = A\hat{f}
\end{align}
$$
当矩阵 $A$ 满足受限等距条件（RIC）且样本数 $N = O(m \log k)$ 时，此方程与原问题有相同解。为了更高效求解，将其转化为 $\ell_2 - \ell_1$ 问题：
$$
\min {\hat{f}} \frac{1}{2}|y - A\hat{f}|_2^2 + \tau|\hat{f}|_1
$$
其中，第一项确保解与测量值 $y$ 拟合，第二项寻找最小 $\ell_1$ 解（即最稀疏解），参数 $\tau$ 平衡两个约束条件。Wright 等人提出了通过可分离近似进行稀疏重建（SpaRSA）的算法来求解该问题，本文用其重建 3D 及更高维的场景信号。

1.3 受限等距条件（RIC）

若 $k \ll n$，对于任意矩阵 $A$，系统 $y = A\hat{f}$ 是严重欠定的，无法求解。但当矩阵 $A$ 满足受限等距