22、概率概念与随机变量详解

概率概念与随机变量详解

1. 概率空间与基本概念

概率空间由三元组((Ω, F, P))定义，其中(P)需满足以下性质：
- (P(∅) = 0)
- 对于任意(A ∈F)，(P(A) ≥0)
- 若(A_1, A_2, \cdots)两两不相交，则(P(\bigcup_{i = 1}^{\infty}A_i)=\sum_{i = 1}^{\infty}P(A_i))

概率本质上是一种特殊的测度。下面介绍一些相关的测度概念：
- 外测度 ：设((Ω, F, λ))是一个测度空间，集合(A ⊆Ω)的外测度定义为(\lambda^ (A) \triangleq \inf_{A\subseteq\bigcup_{k}B_{k}}\sum_{k}\lambda(B_{k}))，即(A)的最小覆盖({B_k})的(\lambda)测度。
- 内测度 ：集合(A ⊆Ω)的内测度定义为(\lambda_ (A) \triangleq \lambda(Ω) - \lambda(Ω\setminus A))。
- 勒贝格可测集 ：若一个集合(A)的外测度和内测度相等，即(\lambda^ (A) = \lambda_ (A))，则称(A)是勒贝格可测集，它们的共同值称为勒贝格测度(\overline{\lambda}(A) = \lambda^*(A))。

对于有限集(Ω = {ω_1, \cdots, ω_n})，存在包含(Ω)中所有可能事件的(\sigma -)代数(2^Ω