[ SDFZ ],数论

数论总引
欧拉定理
博客知识

小凯的疑惑

同余：设m是给定的一个正整数，a、b是整数，若满足m|(a-b)，则称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)，或记为a≡b(m)。这个式子称为模m的同余式，若m∤ (a-b)，则称a、b对模m不同余，同余概念又常表达为：
1.a=b+km(k∈Z)；<=>a=b(mod m);
2.a和b被m除时有相同的余数。<=>a%m=b%m;
—百度百科。

题目简述：
求最大的n不能用ax+by表示，a，b互质

解：n!=ax+by =>n-ax!=by => (n-ax)%b!=0
令 m=n-ax；
m%b!=0,求max m

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miller–robin算法

费马小定理

费马小定理：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。
将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)
也即是说：假设我们要测试n是否为质数。我们可以随机选取一个数a，然后计算a^(n-1) mod n，如果结果不为1，我们可以100%断定n不是质数。

二次探测定理：

如果p是奇素数，则 x^2 ≡ 1(mod p)的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)

如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试，而是看n-1是不是偶数。如果n-1是偶数，令u=(n-1)/2，并检查是否满足二次探测定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。
栗子：

假设n=341，我们选取的a=2。则第一次测试时，2^340 mod 341=1。由于340是偶数，因此我们检查2^170，得到2^170 mod 341=1，满足二次探测定理。同时由于170还是偶数，因此我们进一步检查2^85 mod 341=32。此时不满足二次探测定理，因此可以判定341不为质数。

将这两条定理合起来，也就是最常见的Miller-Rabin测试。

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实现：

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例题：

解：

解：

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欧几里得算法

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扩展欧几里得

1. 求逆元：

传送门：逆元

2.模意义上的行列式 ，模为合数。
3

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狄利克雷卷积

积性函数：对于函数f(n)，若满足对任意互质的数字a,b，n=a*b且f(n)=f(a)*f(b)，那么称函数f为积性函数。显然f(1)=1。

定义f,g两个函数的狄利克雷卷积(∗)(∗)运算为：

狄利克雷卷积的性质：

交换律：f∗g=g∗f
结合律：(f∗g)∗h=f∗(g∗h)
分配率：f∗(g+h)=f∗g+f∗h
单位元：f∗e=e∗f
若f,g均为积性函数，则f∗g也为积性函数。 常见的狄利克雷卷积：

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基本计数原理

博客借鉴： 传送门

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排列组合

博客借鉴

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莫比乌斯函数

传送门