DIA——图像变换

一.可分离正交的变换

1. 可分离变换（Separable Transform）

定义：
可分离变换指二维变换可以分解为两个一维变换的顺序应用，通常先行变换后列变换（或反之）。这种分解显著降低了计算复杂度。

数学表达：
对于图像$f(x,y)$，二维可分离变换可表示为：
$$F(u,v)=\sum _{x=0}^{N-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)\cdot g_u(x)\cdot h_v(y)$$
其中，$g_u(x)$和$h_v(y)$为一维基函数。若两者相同（如余弦函数），则得到常见的可分离变换（如DCT）。

优势：

• 计算效率：二维复杂度从$O(N^4)$降至$O(N^3)$，若配合快速算法（如FFT），可进一步优化为$O(N^2\log N)$。

2. 正交变换（Orthogonal Transform）

定义：
正交变换的基函数满足正交性条件，即任意两个不同基函数的内积为零，且通常归一化（标准正交基）。数学上，变换矩阵$A$满足$A{A}^T=I$，其中$I$为单位矩阵。

特性：

• 能量守恒：变换前后信号能量不变（帕塞瓦尔定理）。
• 去相关性：变换后系数间冗余减少，利于压缩。

3. 常见问题解答

• 是否所有正交变换都可分离？
  并非绝对，但常见图像变换（如DCT、DFT）多为可分离且正交。某些小波变换可能是正交但不可分离的。

• 可分离性是否仅限行-列分解？
  通常如此，但理论上存在其他分解方式，实际应用中以行列分解为主。

• 能量保持的意义：
  确保压缩时丢弃低能量系数不会显著影响重建质量，如JPEG保留大幅值DCT系数。

4. 总结

• 可分离性提升计算效率，正交性确保能量集中与去相关。
• 两者结合使得DCT、DFT等成为图像处理的标准工具，广泛应用于压缩与分析任务。

二. 可分离且正交的变换

此类变换兼具高效计算与去相关优势，典型例子包括：

• 离散余弦变换（DCT）：
  用于JPEG压缩，能量集中在低频系数，适合丢弃高频信息以实现压缩。二维DCT通过对行、列分别应用一维DCT实现。

• 离散傅里叶变换（DFT）：
  复指数基函数，可分离且正交，常用于频域分析。通过FFT加速计算。

• 沃尔什-哈达玛变换（WHT）：
  基函数为+1和-1的组合，计算简单，适用于低复杂度场景。

1.二维离散余弦变换（2D-DCT）详解

二维离散余弦变换（2D-DCT）是图像和视频压缩（如JPEG、MPEG）中的核心工具，它通过将空域图像转换到频域，实现能量的高效集中和去相关。与DFT不同，DCT仅使用实数运算，更适合处理自然图像的统计特性。

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1.1 定义与数学表达

目标：
将尺寸为 $M\times N$ 的二维离散信号（如图像）$f(x,y)$ 转换为频域实数矩阵 $F(u,v)$，其中低频分量集中大部分能量，便于压缩。

正向变换（2D-DCT-II）（JPEG标准采用的形式）：
$$F(u,v)=C(u)C(v)\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)\cdot \cos \left(\frac{\pi u(2x+1)}{2M}\right)\cos \left(\frac{\pi v(2y+1)}{2N}\right)$$
其中：

• $u=0,1,\dots ,M-1$，$v=0,1,\dots ,N-1$。
• 归一化系数：
  $$C(u)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\frac{1}{M}},& u=0\\ \sqrt{\frac{2}{M}},& u>0\end{array},C(v)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\frac{1}{N}},& v=0\\ \sqrt{\frac{2}{N}},& v>0\end{array}$$

逆向变换（2D-IDCT）：
$$f(x,y)=\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}C(u)C(v)F(u,v)\cdot \cos \left(\frac{\pi u(2x+1)}{2M}\right)\cos \left(\frac{\pi v(2y+1)}{2N}\right)$$

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1.2核心特性

1. 可分离性：
   2D-DCT可分解为两次一维DCT操作：

   • 行变换：对图像的每一行进行一维DCT。
   • 列变换：对中间结果的每一列进行一维DCT。
     计算优势：复杂度从 $O(M^2{N}^2)$ 优化至 $O(MN(M+N))$，结合快速算法（如FFT-based）可进一步降低。

2. 正交性：
   DCT的基函数是正交的，满足：
   $$\sum _{x=0}^{M-1}\cos \left(\frac{\pi u(2x+1)}{2M}\right)\cos \left(\frac{\pi u^{\prime }(2x+1)}{2M}\right)=\{\begin{array}{ll}M,& u=u^{\prime }=0\\ M/2,& u=u^{\prime }\ne 0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$
   这一特性确保变换可逆且能量守恒。

3. 能量集中（Energy Compaction）：
   自然图像的能量主要集中在低频区域（即左上角的DCT系数）。例如，JPEG通过量化并舍弃高频系数（接近零）实现压缩。

4. 实数输出：
   输入为实信号时，DCT输出为实数，无需处理复数运算，适合硬件实现。

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1.3物理意义与图像分析

• 低频分量（Low-Frequency Coefficients）：
  对应图像的整体亮度和平滑区域（如天空、背景）。
• 高频分量（High-Frequency Coefficients）：
  对应边缘、纹理和细节（如头发、文字）。
• 量化与压缩：
  JPEG将DCT系数按“之”字形扫描后，对高频系数进行粗量化，保留主要低频信息。

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1.4总结

• 2D-DCT 是图像压缩的黄金标准，以高能量集中和去相关能力著称。
• 可分离性与快速算法 使其适用于实时编码（如视频流）。
• 应用广泛：从JPEG到现代视频编码标准，DCT持续发挥核心作用。
• 结合量化与熵编码 可高效压缩数据，平衡质量与码率。

通过2D-DCT，图像处理系统能够将视觉冗余转化为压缩增益，为数字多媒体技术奠定数学基础。

2.二维离散傅里叶变换（2D-DFT）详解

二维离散傅里叶变换（2D-DFT）是图像处理中的核心工具，用于将二维离散信号（如图像）从空域（空间域）转换到频域。它是一维DFT的自然扩展，广泛应用于图像滤波、压缩、特征提取等领域。

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2.1.定义与数学表达

目标：
将尺寸为$M\times N$ 的二维离散信号（如图像）$f(x,y)$（$x=0,1,\dots ,M-1$，$y=0,1,\dots ,N-1$）转换为频域的复数矩阵 $F(u,v)$，表示不同空间频率成分的强度与相位。

正向变换（2D-DFT）：
$$F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)\cdot e^{-j2\pi \left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)}$$

• u和v为频域坐标，分别对应水平和垂直方向的空间频率。
• $j=\sqrt{-1}$，基函数为二维复指数函数。

逆向变换（2D-IDFT）：
$$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)\cdot e^{j2\pi \left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)}$$

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2.2 核心特性

1. 可分离性（Separability）：
   二维DFT可分解为两个一维DFT的顺序操作：

   • 先对每一行进行一维DFT（水平方向），得到中间结果 $F(x,v)$。
   • 再对每一列进行一维DFT（垂直方向），得到最终的 $F(u,v)$。
     数学表达：
     $$F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\left[\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi \frac{vy}{N}}\right]e^{-j2\pi \frac{ux}{M}}$$
     计算复杂度：
   • 直接二维计算复杂度为 $O(M^2{N}^2)$。
   • 利用可分离性优化为 $O(MN(M+N))$，结合FFT进一步降至 $O(MN\log MN)$。

2. 正交性：
   二维DFT的基函数满足正交性，确保变换可逆且能量守恒（帕塞瓦尔定理）：
   $$\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}|f(x,y){|}^2=\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}|F(u,v){|}^2$$

3. 共轭对称性：
   对于实值图像 $f(x,y)$，其频谱满足：
   $$F(u,v)=F^{\ast }(-u,-v)$$
   这意味着频谱图关于中心对称，仅需存储一半数据即可完整表示。

4. 频谱平移（零频率中心化）：
   空域图像的平移会导致频域相位变化，但幅度谱不变。为便于观察，常将低频分量移到频谱中心：
   $$F_{\text{shift}}(u,v)=F\left(u-\frac{M}{2},v-\frac{N}{2}\right)$$
   实现方式：对图像预先乘以 $(-1{)}^{x+y}$ 再进行DFT。

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2.3.物理意义与图像频域分析

• 幅度谱（Amplitude Spectrum）：
  $|F(u,v)|$ 表示不同空间频率的能量分布。

  • 低频：对应图像中的平滑区域（如背景）。
  • 高频：对应边缘、纹理等细节。

• 相位谱（Phase Spectrum）：
  $\arg (F(u,v))$ 包含图像的结构信息，对视觉感知更关键。
  实验现象：若交换两幅图像的相位谱，重建图像将呈现相位谱对应图像的结构。

• 频域坐标与实际频率的对应：
  水平频率 $u$ 和垂直频率 $v$ 对应的实际空间频率为：
  $$f_u=\frac{u}{M}\cdot f_{\text{sample}},f_v=\frac{v}{N}\cdot f_{\text{sample}}$$
  $f_{\text{sample}}$ 为采样频率（如像素/单位长度）。

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2.4总结

• 二维DFT 是图像频域分析的基石，揭示图像的空间频率成分。
• 可分离性与FFT 使其高效实用，适用于实时处理。
• 应用广泛：从去噪到压缩，再到特征提取。
• 结合空域与频域 能更全面地理解图像特性。

通过二维DFT，图像处理不再局限于像素级操作，而是能够利用频域工具实现更智能的增强与分析。