二分图的Study

最近在狂干ACM，今天接触了二分图这个概念，感觉我也得学习别人利用博客来记录我这一路的学习心得，好了P话少说，进入二分图。。。。

 

二分图

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

 

　　简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集。

二分图的最大匹配

    给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

 

　　求二分图最大匹配可以用最大流或者匈牙利算法。

最大匹配

　　给定一个二分图G,在G的一个子图M中,M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配.

 

　　选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)

 

　　如果一个匹配中,图中的每个顶点都和图中某条边相关联,则称此匹配为完全匹配,也称作完备匹配.

匈牙利算法。

邻接矩阵-C

　　#include <stdio.h>

　　#include <string.h>

　　int n1, n2, m, ans;

　　int result[101]; //记录V2中的点匹配的点的编号

　　bool state [101]; //记录V2中的每个点是否被搜索过

　　bool data[101][101];//邻接矩阵 true代表有边相连

　　void init()

　　{

　　int t1, t2;

　　memset(data, 0, sizeof(data));

　　memset(result, 0, sizeof(result));

　　ans = 0;

　　scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);

　　for (int i = 1; i <= m; i++)

　　{

　　scanf("%d%d", &t1, &t2);

　　data[t1][t2] = true;

　　}

　　return;

　　}

　　bool find(int a)

　　{

　　for (int i = 1; i <= n2; i++)

　　{

　　if (data[a][i] == 1 && !state[i]) //如果节点i与a相邻并且未被查找过

　　{

　　state[i] = true; //标记i为已查找过

　　if (result[i] == 0 //如果i未在前一个匹配M中

　　|| find(result[i])) //i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路

　　{

　　result[i] = a; //记录查找成功记录

　　return true; //返回查找成功

　　}

　　}

　　}

　　return false;

　　}

　　int main()

　　{

　　init();

　　for (int i = 1; i <= n1; i++)

　　{

　　memset(state, 0, sizeof(state)); //清空上次搜索时的标记

　　if (find(i)) ans++; //从节点i尝试扩展

　　}

　　printf("%d\n", ans);

　　return 0;

　　}