30、简单多边形中路径查询算法详解

简单多边形中路径查询算法详解

在计算几何领域，简单多边形内的路径查询问题是一个重要的研究方向，它在机器人路径规划、计算机图形学等多个领域都有广泛的应用。本文将详细介绍简单多边形中最短路径和最小链接路径的查询算法，包括算法的步骤、复杂度分析以及相关的查询算法。

1. 最短路径查询算法

对于一个具有 (n) 个顶点的简单多边形 (P)，可以在 (O(n)) 时间和空间内进行预处理，使得在 (P) 中计算两个查询点 (s) 和 (t) 之间的最短路径 (SP(s, t)) 的查询时间为 (O(\log n + k))，其中 (k) 是最短路径中的边数。具体步骤如下：
1. 确定相关节点并构建沙漏结构 ：在 (Td) 中识别节点 (d^{-}_s)、(d^{+}_s)、(d^{-}_t) 和 (d^{+}_t)。通过组合 (Dst) 中 (ds) 和 (dt) 之间的一部分对角线的沙漏来构建沙漏 (Hst)。
2. 绘制切线并确定最短路径顶点 ：从 (s) 和 (t) 向 (Hst) 绘制切线，并确定 (SP(s, t)) 的顶点。
3. 报告最短路径 ：输出 (SP(s, t))。

这个算法的正确性和时间复杂度可以通过相关引理来证明。以下是该算法的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[确定相关节点并构建沙漏结构];
    B --> C[绘制切线并确定最短路径顶点];
    C --> D[报告最短路径];