2、计算几何中的算法复杂度与多边形问题研究

计算几何中的算法复杂度与多边形问题研究

1. 渐近复杂度

在算法分析中，渐近复杂度是衡量算法性能的重要指标。通常使用标准符号 $O(f(n))$ 来衡量顺序算法的时间和空间复杂度，其中 $n$ 是算法输入的规模。$O(f(n))$ 表示所有满足存在正常数 $c$ 和 $n_0$，使得对于所有 $n \geq n_0$ 都有 $|g(n)| \leq c|f(n)|$ 的函数 $g(n)$ 的集合。如果一个算法的运行时间是 $O(n^k)$（$k$ 为常数），则称该算法在多项式时间内运行。另外，$\Omega(f(n))$ 表示所有满足存在正常数 $c$ 和 $n_0$，使得对于所有 $n \geq n_0$ 都有 $g(n) \geq cf(n)$ 的函数 $g(n)$ 的集合。

评估算法渐近效率的目的是了解算法的运行时间（或空间）如何随输入规模的增加而增长。使用 $O$ 符号表示的运行时间可以简单地描述算法的效率，从而可以比较不同算法的效率。

在计算几何中，实随机存取机（Real RAM）已成为顺序算法的标准计算模型。实随机存取机是一种具有无限精度和实数算术运算的随机存取机，它可以在单位时间内对实数进行加、减、乘、除和比较运算。此外，还可以进行各种其他操作，如内存的间接寻址（仅整数地址）、计算两条直线的交点、计算两点之间的距离、测试顶点是否为凸顶点等，这些操作都假设在常数时间内执行。

以下是一些相关的练习题：
- 练习题 1.3.1：判断 $O(2^n) = O(2^{O(n)})$ 是否成立。
- 练习题 1.3.2：给定一个点 $z$ 和一个多边形 $P$，设计一个 $O(n)$ 时间的算法来测试点 $z$ 是否位于多边形 $P$ 的