22、高级梯度方案：自适应步长规则与随机梯度下降

高级梯度方案：自适应步长规则与随机梯度下降

在机器学习和优化领域，梯度下降是一种常用的优化算法，用于寻找函数的最小值。然而，传统的梯度下降方法在处理大规模数据集时可能会遇到内存和计算效率的问题。为了解决这些问题，我们将介绍两种高级梯度方案：自适应步长规则和随机梯度下降。

自适应步长规则

传统的梯度下降方法通常使用固定步长，但固定步长可能无法在所有情况下都表现良好。自适应步长规则则可以根据函数的局部曲率动态调整步长，从而提高收敛速度。

回溯线搜索

回溯线搜索是一种常用的自适应步长规则。其基本思想是通过不断尝试不同的步长，直到找到一个满足特定条件的步长，使得函数值在该步长下下降。

具体步骤如下：
1. 初始化步长 $\alpha > 0$ 和阻尼因子 $t \in (0, 1)$。
2. 对于第 $k$ 次迭代，检查不等式 $g(w_{k - 1} - \alpha_k \nabla g(w_{k - 1})) \leq g(w_{k - 1}) - \frac{\alpha_k}{2} |\nabla g(w_{k - 1})| 2^2$ 是否成立。
3. 如果不等式不成立，则将步长 $\alpha_k$ 乘以 $t$，即 $\alpha_k \leftarrow t\alpha_k$，并重复步骤 2，直到不等式成立。
4. 更新参数 $w_k = w {k - 1} - \alpha_k \nabla g(w_{k - 1})$。

以下是回溯线搜索的伪代码：

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