11、分类算法与直方图特征的应用与实践

分类算法与直方图特征的应用与实践

1. 分类算法概述

在分类任务中，有多种成本函数可用于学习分类器。常见的有感知机、softmax和平方间隔感知机成本函数。感知机是线性二分类的基本成本函数，而softmax和平方间隔感知机成本函数是其凸且可微的变体，在实际应用中表现相似。

1.1 成本函数的推导与应用

• 感知机成本函数 ：感知机成本函数是线性二分类的基础。通过证明其凸性，可以更好地理解其在优化过程中的性质。
  • 证明步骤 ：
    • 首先，使用零阶凸性定义证明(\max(0, -y_p(b + x_p^T w)))在参数((b, w))上是凸的。
    • 然后，利用“若(g(t))和(h(t))都是凸的，则(g(t) + h(t))也是凸的”这一性质，得出感知机成本函数是凸的。
• softmax成本函数 ：softmax成本函数在逻辑回归中广泛应用。
  • 凸性证明 ：通过验证其满足二阶凸性定义来证明其凸性，其Hessian矩阵是一个加权外积矩阵。
  • 梯度下降实现 ：在一个玩具数据集上实现梯度下降来最小化softmax成本函数。
    • 验证softmax成本函数的梯度公式(\nabla g(w) = Xr)，其中(X)是由数据向量