22、高效 GF(pm) 算术架构在密码学应用中的探索

高效 GF(pm) 算术架构在密码学应用中的探索

在密码学领域，有限域 GF(pm) 算术运算的高效实现至关重要。本文将深入探讨 GF(pm) 算术的相关理论、架构以及在 GF(3m) 中的具体应用。

1. 数学基础

有限域 GF(pm) 由一个在 GF(p) 上的 m 次不可约多项式 p(x) = xm + P(x) = xm + ∑(m - 1, i = 0) pixi 生成。设 α 是 p(x) 的一个根，那么 GF(pm) 中的元素 A 可以用多项式基表示为 A(α) = ∑(m - 1, i = 0) aiαi，其中 ai ∈ GF(p)。由于 α 是 p(x) 的根，所以 p(α) = 0，由此可得 αm = -P(α) = ∑(m - 1, i = 0) (-pi)αi，这为处理 α 的幂大于 m - 1 时的模约简提供了便利。

在 GF(pm) 中，加法运算可表示为 C(α) ≡ A(α) + B(α) = ∑(m - 1, i = 0) (ai + bi)αi，其中 ai + bi 在 GF(p) 中进行。乘法运算则表示为 C(α) = ∑(m - 1, i = 0) ciαi ≡ A(α) · B(α)，所有 t ≥ m 的 αt 都可以通过上述模约简方法进行处理。

2. GF(pm) 算术的通用架构

2.1 加法器

GF(pm) 中的加法按照 C(α) ≡ A(α) + B(α) = ∑(m - 1, i = 0) (ai + bi)αi 进行。一个并行加法器需要 m 个 GF(p) 加法器，其关键路径延迟为一个 GF(p) 加法器的延迟。

2.2 乘法器