LeetCode 经典题：“跳跃游戏”

一、题目描述

给定一个非负整数数组 nums ，你最初位于数组的 第一个下标 。数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。判断你是否能够到达最后一个下标。

示例

• 示例 1：
  • 输入：nums = [2,3,1,1,4]
  • 输出：true
  • 解释：可以先跳 1 步，从下标 0 到达下标 1 ，然后再从下标 1 跳 3 步到达最后一个下标。
• 示例 2：
  • 输入：nums = [3,2,1,0,4]
  • 输出：false
  • 解释：无论怎样，总会到达下标为 3 的位置。但该下标的最大跳跃长度是 0 ，所以永远不可能到达最后一个下标。

二、解题思路

贪心算法思路

本题可以使用贪心算法来解决。贪心算法的核心思想是在每一步都做出当前看起来最优的选择，从而希望最终能得到全局最优解。对于这个跳跃游戏问题，我们可以维护一个能到达的最远位置的变量。

具体思路如下：

1. 初始化一个变量 maxReach 为 0，用于记录当前能到达的最远位置。
2. 遍历数组 nums 中的每一个元素，对于当前遍历到的下标 i：
   • 检查当前下标 i 是否大于 maxReach。如果 i > maxReach，说明当前位置无法到达，直接返回 false。
   • 更新 maxReach 的值。maxReach 应该取当前 maxReach 和 i + nums[i] 中的较大值，因为 i + nums[i] 表示从当前位置 i 能跳跃到的最远位置。
3. 遍历结束后，如果 maxReach 大于或等于数组的最后一个下标，说明可以到达最后一个下标，返回 true；否则返回 false。

三、代码实现

Python 代码实现

def canJump(nums):
    # 初始化能到达的最远位置为 0
    maxReach = 0
    # 遍历数组
    for i in range(len(nums)):
        # 如果当前位置超过了能到达的最远位置，返回 False
        if i > maxReach:
            return False
        # 更新能到达的最远位置
        maxReach = max(maxReach, i + nums[i])
    # 如果能到达的最远位置大于等于数组最后一个下标，返回 True
    return maxReach >= len(nums) - 1

Java 代码实现

class Solution {
    public boolean canJump(int[] nums) {
        // 初始化能到达的最远位置为 0
        int maxReach = 0;
        // 遍历数组
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 如果当前位置超过了能到达的最远位置，返回 false
            if (i > maxReach) {
                return false;
            }
            // 更新能到达的最远位置
            maxReach = Math.max(maxReach, i + nums[i]);
        }
        // 如果能到达的最远位置大于等于数组最后一个下标，返回 true
        return maxReach >= nums.length - 1;
    }
}

四、复杂度分析

时间复杂度

时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是数组 nums 的长度。因为只需要对数组进行一次遍历，每次遍历中的操作（比较和更新 maxReach）都是常数时间复杂度。

空间复杂度

空间复杂度为 $O(1)$，只使用了常数级的额外空间，如 maxReach 变量。

五、总结

“跳跃游戏”这道题通过贪心算法简洁高效地解决了能否到达数组最后一个下标的问题。贪心算法在处理这类具有最优子结构性质的问题时非常有效，通过每一步的局部最优选择，最终得到全局最优解。理解贪心算法的思想，并学会在合适的问题中运用它，对于提升算法解题能力很有帮助。希望通过对本题的详细分析，你能更好地掌握贪心算法的应用。