统计-样本及抽样分布

第六章 样本及抽样分布

在概率中，我们所研究的随机变量的分布都是假设已知的。

在数理统计中，我们研究的随机变量的分布是未知的，或者是不完全知道的。我们通过对随机变量进行大量重复、独立的观察，收集书记，然后对数据进行整理，分析，从而对所研究的随机变量的分布作出各种推断。

随机样本

总体与个体

在数理统计中，我们把研究的对象的全体称为$\color{red}{总体}$，总体中的每个成员称$\color{red}{个体}$

在实际问题中，我们只对总体的某些数量指标感兴趣。这时，我们就把这些数量指标（如人的体重，学生的成绩）的全体作为$\color{red}{总体}$，把每个数值作为$\color{red}{个体}$。

总体中包含的个体的数量称为总体的$\color{red}{容量}$。

容量为有限的总体称为$\color{red}{有限总体}$,

容量为无限的总体称为$\color{red}{无限总体}$,

若有限总体容量很大，可以视为无线总体。

总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值x，它是某个随机变量X的取值。

例如总体是一群人的身高，身高X是一个随机变量，每个身高x是X的一个取值。

这样，一个总体对应一个随机变量X。

我们对总体的研究就是对这个随机变量X的研究。

X的分布函数和树脂2特征就称为总体的分布函数和数字特征。

进货我们将不区分总体与相应的随机变量，统称为总体X。

随机样本

从总体X中抽得的一部分个体叫做总体的一个样本。

从总体抽取一个个体，就是对总体X进行一次观察并记录结果。

我们在相同条件下对总体X进行n次反复独立的观察，并将n次观察结果按试验次序记为X1,…,Xn。由于每次观察结果也是随机的，因此这些Xi都是随机变量。

X1,…Xn是相互独立的，有与X相同分布的随机变量（独立同分布

）

从总体X中抽得n个个体X1,…,Xn称来自总体X的容量为n的$\color{red}{样本}$，而每个个体Xi称为一个$\color{red}{样本点}$。

它们依次是X1,…,Xn的样本观察值，简称$\color{red}{样本值}$。

简单随机抽样

从总体中抽取样本必须满足一下两个条件：

1.随机性：抽样应随机进行，使得每个个体被抽到的机会均等。

2.独立性：每次抽样应独立惊喜，结果不受其他抽样结果影响，也不影响其他抽样结果。

满足以上两个条件抽样称为简单随机抽样。

对于有限总体，采用有放回抽样。

对应无线总体或大容量总体，采用不放回抽样。

后面提到抽样都是假设简单随机抽样。

总体，个体，简单随机抽样是数理统计中三个最基本的概念。

简单随机变量具有独立性和代表性（同分布）两个特征。

样本的分布函数和密度函数

设总体X是具有分布函数F的随机变量，若X1,…,Xn是X的一个容量为n的简单随机样本，则X1,…,Xn是具有同一分布函数F，且相互独立的随机变量。

我们也称X1,…,Xn为从分布函数F得到的容量为n的简单随机样本（简称样本），

它们的观察值X1,…,Xn称为样本值，又称为X的n个独立观察值。

所以(X1,…,Xn)的联合分布函数为

$F^*(X_1,..,X_n)=F(x_1)…F(X_n)=\prod_{i=1}^nF(x_i)$

若X具有概率密度f，则(X1,…,Xn)的联合概率密度为

$f^*(X_1,..,X_n)=f(x_1)…f(X_n)=\prod_{i=1}^nf(x_i)$

若总体X是离散型随机变量，分布律为P{X=x}=p(x),则(X1,…,Xn)的联合分布律为

P{ $X_1=x_1,..,X_n=X_n$}=$p(x_1)…p(x_n)$

例如总体X服从0-1分布b(1,p)

p{X=x}=p(x)=$p^xq^{1-x}$

$p(x_1)…p(x_n)$=$\prod_{i=1}^{n}p^{x_i}q^{1-X_i}$=$p^{\sum_{i=1}^nx_i}q^{n-\sum_{i=1}^nz_i}$

直方图和箱线图

统计量

定义

设X1,…,Xn是来自总体X的一个样本，g(X1,…,Xn)是X1,…,Xn的函数，若g中不含未知数，则称g(X1,…,Xn)是一个统计量。

因为X1,…,Xn都是随机变量，故统计量g(X1,…,Xn)作为X1,…,Xn的函数，也是随机变量。

设X1,…,Xn是相应于样本X1,…,Xn的样本值，则称g(X1,…,Xn)是统计量g(X1,…,Xn)的观测值。

常用统计量

设X1,…,Xn是来自总体X的一个样本，X1,…,Xn是这一样本的观察值。

统计平均值(样本均值)Sample means

$\overline{X}={1\over n}\sum_{i=1}^bX_i$

相应的观察值 $\overline{x}={1\over n}\sum_{i=1}^bx_i$

样本方差 Sample variance

$S^2={1\over{n-1}}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$

相应的观察值 $s^2={1\over{n-1}}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$

样本标准差 Sample standard deviation

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{{1\over{n-1}}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2}$

相应的观察值

$s=\sqrt{{1\over{n-1}}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}$

样本k阶（原点）矩 k-th monent of the sample

$A_k={1\over n}\sum_{i=1}^nX_i^k$ k=1,2,..

相应的观察值 $a_k={1\over n}\sum_{i=1}^nx_i^k$

样本k阶中心矩

$B_k={1\over n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^k$

相应的观察值$b_k={1\over n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^k$

总体X的方差$\sigma_X^2={1\over{N}}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$

总体均值$\overline{X}={1\over N}\sum_{i=1}^NX_i$

当样本X1,..,Xn容量较少是

总体方差较小，故样本方差修正为n-1

对于较大的n，两者几无差异。

若总体X的k阶矩$E(X^k)=\mu_k$存在，则当n趋于无穷大是，样本k阶矩将依概率收敛与总体的k阶矩，即

$A_k \xrightarrow{P} \mu$ Ak=1n∑ni=1Xki