坐标型动态规划

这篇博客介绍了如何使用坐标型动态规划解决LeetCode上的Triangle问题,即找出给定三角形从顶点到底边的最小路径和。文章详细讲解了自底向上和自顶向下的两种方法,并提供了相应的Java代码实现。

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坐标型动态规划:

state: f[x]表示从起点到坐标x;

          f[x, y]表示从起点走到坐标x, y;

function: 研究走到x, y之前的一步



(一)Triangle

https://leetcode.com/problems/triangle/description/

题目:给出一个三角形,返回从顶到底和最小的路径和,只能移动到下一行的相邻位置。如:

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]
应该返回11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11);

解答:将三角形的位置看做坐标,则从 (i, j) 位置可以移动到 (i + 1, j) 和 (i + 1, j + 1),取可移动的两个点的较小值,最终即可获得最小值;

方法一:自底向上(依次存储当前最小的路径和,最终返回 (0, 0)即可;min[j][j] 代表从i, j出发走到最后一层的最小路径长度)

代码:

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int res = 0;
        int row = triangle.size(), column = triangle.size();
        int min[][] = new int[row][column];
        
        for (int i = 0; i < column; i++) {
            min[row - 1][i] = triangle.get(row - 1).get(i);
        }
        
        for (int i = row - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                min[i][j] = Math.min(min[i + 1][j], min[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return min[0][0];
    }
}


方法二:自顶向下 


(i,j)点的值取决于其相邻的上一行点的最小值:

对于最左边的点(i,0)其上一行相邻点仅有(i - 1,0);

对于最右边的点(i,i)其上一行相邻点仅有(i - 1, i - 1);

对于其余点(i,j),其上一行相邻点有(i - 1,j)和(i - 1,j - 1)两种情况。

因此,需要初始化三角形左右两边的数。


代码:

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int res = Integer.MAX_VALUE;
        int n = triangle.size();
        int min[][] = new int[n][n];
        min[0][0] = triangle.get(0).get(0);
        
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            min[i][0] = triangle.get(i).get(0) + min[i - 1][0];
            min[i][i] = triangle.get(i).get(i) + min[i - 1][i - 1];
        }
        
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                min[i][j] = Math.min(min[i - 1][j], min[i - 1][j - 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res = Math.min(res, min[n - 1][i]);
        }
        return res;
    }
}


(二)

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