坐标型动态规划:
state: f[x]表示从起点到坐标x;
f[x, y]表示从起点走到坐标x, y;
function: 研究走到x, y之前的一步
(一)Triangle
https://leetcode.com/problems/triangle/description/
题目:给出一个三角形,返回从顶到底和最小的路径和,只能移动到下一行的相邻位置。如:
[ [2], [3,4], [6,5,7], [4,1,8,3] ]应该返回11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11);
解答:将三角形的位置看做坐标,则从 (i, j) 位置可以移动到 (i + 1, j) 和 (i + 1, j + 1),取可移动的两个点的较小值,最终即可获得最小值;
方法一:自底向上(依次存储当前最小的路径和,最终返回 (0, 0)即可;min[j][j] 代表从i, j出发走到最后一层的最小路径长度)
代码:
class Solution {
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int res = 0;
int row = triangle.size(), column = triangle.size();
int min[][] = new int[row][column];
for (int i = 0; i < column; i++) {
min[row - 1][i] = triangle.get(row - 1).get(i);
}
for (int i = row - 2; i >= 0; i--) {
for (int j = 0; j <= i; j++) {
min[i][j] = Math.min(min[i + 1][j], min[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
}
}
return min[0][0];
}
}
方法二:自顶向下
(i,j)点的值取决于其相邻的上一行点的最小值:
对于最左边的点(i,0)其上一行相邻点仅有(i - 1,0);
对于最右边的点(i,i)其上一行相邻点仅有(i - 1, i - 1);
对于其余点(i,j),其上一行相邻点有(i - 1,j)和(i - 1,j - 1)两种情况。
因此,需要初始化三角形左右两边的数。
代码:
class Solution {
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int res = Integer.MAX_VALUE;
int n = triangle.size();
int min[][] = new int[n][n];
min[0][0] = triangle.get(0).get(0);
for (int i = 1; i < n; i++) {
min[i][0] = triangle.get(i).get(0) + min[i - 1][0];
min[i][i] = triangle.get(i).get(i) + min[i - 1][i - 1];
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < i; j++) {
min[i][j] = Math.min(min[i - 1][j], min[i - 1][j - 1]) + triangle.get(i).get(j);
}
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
res = Math.min(res, min[n - 1][i]);
}
return res;
}
}
(二)