坐标型动态规划在解决三角形最小路径和问题的应用-优快云博客

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这篇博客介绍了如何使用坐标型动态规划解决LeetCode上的Triangle问题，即找出给定三角形从顶点到底边的最小路径和。文章详细讲解了自底向上和自顶向下的两种方法，并提供了相应的Java代码实现。

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坐标型动态规划：

state: f[x]表示从起点到坐标x；

f[x, y]表示从起点走到坐标x, y;

function: 研究走到x, y之前的一步

（一）Triangle

https://leetcode.com/problems/triangle/description/

题目：给出一个三角形，返回从顶到底和最小的路径和，只能移动到下一行的相邻位置。如：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

应该返回11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11)；

解答：将三角形的位置看做坐标，则从 (i, j) 位置可以移动到 (i + 1, j) 和 (i + 1, j + 1)，取可移动的两个点的较小值，最终即可获得最小值；

方法一：自底向上（依次存储当前最小的路径和，最终返回 (0, 0)即可；min[j][j] 代表从i, j出发走到最后一层的最小路径长度）

代码：

class Solution {
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int res = 0;
int row = triangle.size(), column = triangle.size();
int min[][] = new int[row][column];

for (int i = 0; i < column; i++) {
min[row - 1][i] = triangle.get(row - 1).get(i);
}

for (int i = row - 2; i >= 0; i--) {
for (int j = 0; j <= i; j++) {
min[i][j] = Math.min(min[i + 1][j], min[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
}
}
return min[0][0];
}
}

方法二：自顶向下

（i，j）点的值取决于其相邻的上一行点的最小值：

对于最左边的点（i，0）其上一行相邻点仅有（i - 1，0）；

对于最右边的点（i，i）其上一行相邻点仅有（i - 1， i - 1）；

对于其余点（i，j），其上一行相邻点有（i - 1，j）和（i - 1，j - 1）两种情况。

因此，需要初始化三角形左右两边的数。

代码：

class Solution {
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int res = Integer.MAX_VALUE;
int n = triangle.size();
int min[][] = new int[n][n];
min[0][0] = triangle.get(0).get(0);

for (int i = 1; i < n; i++) {
min[i][0] = triangle.get(i).get(0) + min[i - 1][0];
min[i][i] = triangle.get(i).get(i) + min[i - 1][i - 1];
}

for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < i; j++) {
min[i][j] = Math.min(min[i - 1][j], min[i - 1][j - 1]) + triangle.get(i).get(j);
}
}

for (int i = 0; i < n; i++) {
res = Math.min(res, min[n - 1][i]);
}
return res;
}
}