[自动控制原理] 2 - 自动控制的数学原理

0. 引言
   0.1. 碎碎念
   我喜欢数学, 但是我不喜欢语文. 小学的时候总是将"振荡"写成"震荡"然后扣分. 虽然我觉得没啥区别.

0.2. 说明
这一块, 主要包含三个部分: 时域上的微分方程, 频域上的频域传递函数(这里的"频域"可以是真正的频域f域, 也可以是s域, z域), 和信号流图. 其中时域分析是最直接的, 同时也是最难的. 频域分析比较方便, 比较省力气. 信号流图是用于化简这两个分析方式的.

时域模型需要掌握数学分析, 至少得会解微分方程. 而这里能遇见的微分方程都很复杂, 一看就不想动笔. 频域分析得学过信号与系统, 得会拉普拉斯变换以及性质. 信号流图一看就懂, 主要包括两个需要现在学习的东西: masson(梅森)公式和流图化简/分解.

时域分析的思想就是解微分方程. 大学物理上每个人都干过这种事情. 好处是方便, 暴力, 省事. 坏处是微分方程一复杂就寄了.

现在介绍下频域分析的思想:

如果数学分析学的好的话, 就应该发现, 实际上很多线性微分方程都是使用拉普拉斯变换去求解的. 他两是什么关系呢? 其实, 用计算机术语的话, 使用s域去解微分方程是典型的使用空间复杂度换取低的时间复杂度开支. 我们使用拉普拉斯变换的时候, 能快速写出来常见函数的变换是因为我们将一些常见积分已经浪费时间计算过了(有一些积分甚至困扰了人类很久!) . 我们将这些积分背过, 用的时候直接从存储空间读取答案(大脑或者查表). 从而加速运算(比如FFT算法中将常见的对数/指数运算背表, 用的时候直接使用).

数学是什么? 数学就是将未知问题拆开, 转化为已解决的问题的学科.
时域上是这么解决问题的:

写微分方程->使用复杂的数学分析知识解微分方程(非常困难, 耗费时间)->得到解
所以我们实际上是这么使用频域加速计算的:

写微分方程->直接转化到s域->使用加减乘除解决问题->转换回时域->得到解
这样, 复杂的微积分就转换为了简单的加减乘除. 而最复杂的微积分运算已经事先解决, 用的时候调用就行. 想象一下, 如果我们没有事先计算常见函数形式的积分的话, 那么s域与时域的转换将是一场灾难! 需要不停的去计算复变函数的积分. 那么频域分析这种算法就没有意义了. 除非你手算积分的速度比计算机还快. 所以频域分析算法是典型的空间复杂度换时间复杂度. 这里的空间复杂度指的是存储空间.

不管是微分方程还是频域分析, 都是古代的技术了. 当代一般都是计算机辅助直接单步仿真, 谁去解复杂方程啊对不对? 都是玩计算机了. 但是为了考试的话, 还是得会的. 而且在学习的时候常常感叹: 古人的智慧真牛逼!

信号流图的话, masson公式和流图化简/分解. masson公式负责转换传递函数和信号流图. 而信号流图的化简和分解(或者称作"形式变换")有点像是拓扑学的感觉…说不上来. 不复杂. 之所以在信号流图上化简和分解, 是因为这样方便. 这么做比直接操作数学式子更加直观, 方便耐用. 就是废纸, 一写就浪费很多草稿, 而且非常不便于计算机输入 (我一般使用Windows画图板和qq截图加复制粘贴的形式输入到知乎, 都是鼠标顺手画的, 很丑, 但是效率很高).