[ZJOI2012]波浪——dp+__float128卡精度

最新推荐文章于 2021-03-20 22:09:12 发布

北路人

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文章标签： DP ZJOI2012 期望与概率

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jokingcoder/article/details/89252535

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本文深入探讨了ZJOI2012波浪问题，讲解了如何通过动态规划求解特定排列下波浪幅度的累计值大于等于给定阈值的概率，并分享了在不同数据精度要求下采用的技巧。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

ZJOI2012波浪

题意
在 $1\to N$ 的全排列 $P$ 中 $L=|P_1–P_2|+|P_2–P_3|+…+|P_{N-1}–P_N|$
问 $L\geq M$ 的概率有多大，保留k位小数， $k\leq 30$

Solution
（这个 $s o l u t i o n$ 不是正文）
我们考虑一个数如果比左右两侧的数都大那么 $|A-mid|+|mid-B|=2\times mid-A-B$ ，他的贡献为 $2\times mid$
同理，如果一个数比一侧的数大，比另一侧的数小，贡献为 $0$ ；比两侧都小，贡献为 $-2\times mid$

先从小到大排序，每次考虑插入时的状态，因为后插入的一定大，所以考虑和那些块相邻
$d p [i] [j] [l] [p]$ 表示前 $i$ 个数， $j$ 个联通块，答案 $L$ 为 $l$ ，边界占了 $p$ 个的方案数(暂时是可以这么讲的)

$i$ 这一维可以仿佛滚掉
$\because l\in [-4500,4500]$ ，加一个常数 $D$ 即可

Attention

dp数组其实都是些整数，但是数值很大所以可以直接开long double或者__float128
为什么我们进行dp的时候都不用判断这种情况是否能做到就直接进行转移呢？比如if (l - i >= -D) dp[nxt][j + 1][l - i + D][p + 1] += nows * (2 - p);为什么就一定能保证当前海浪放在边界的时候就一定能自成一段呢？
这个很多题解也都说了，dp数组分两类， $k\leq 8$ 时用long double，否则用__float128，全用__float128会T。。。

Tricks
这里才是正文(相信大佬们一定直接跳过了上面的dp部分)。
本文重点就是如何卡精度，方法有很多（比如还能猜数据开大小的？），但是局部动态开是会某些OJ上是会RE的。我采取了开两个namespace的方法，用template开不同的数组类型，这样的内存是两倍的，可能比较大（雾

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define N 110
#define D 4500

namespace db{long double dp[2][N][(D << 1) + 10][3];}
namespace flt{__float128 dp[2][N][(D << 1) + 10][3];}

int n, m, k;
template < class T >
inline void doit(T dp[][N][(D << 1) + 10][3]) {
    int now = 1, nxt = 0;
    dp[0][0][D][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        std :: swap(now, nxt);
        memset(dp[nxt], 0, sizeof dp[nxt]);
        for (int j = 0; j <= std :: min(i - 1, m); ++j) {
            for (int l = -D; l <= D; ++l) {
                for (int p = 0; p <= 2; ++p) {
                    T nows = dp[now][j][l + D][p];
                    if (!nows) continue;
                    if (p <= 2) {
                        if (j && l + i <= D) dp[nxt][j][l + i + D][p + 1] += nows * (2 - p);
                        if (l - i >= -D) dp[nxt][j + 1][l - i + D][p + 1] += nows * (2 - p);
                    }
                    if (l - (i << 1) >= -D) dp[nxt][j + 1][l - (i << 1) + D][p] += nows * (j + 1 - p);
                    if (j) dp[nxt][j][l + D][p] += nows * ((j << 1) - p);
                    if (j > 1 && l + (i << 1) <= D) dp[nxt][j - 1][l + (i << 1) + D][p] += nows * (j - 1);
                }
            }
        }
    }
    T prt = 0;
    for (int i = m; i <= D; ++i) {
        prt += dp[nxt][1][i + D][2];
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        prt /= i;
    }
    int tot = prt;
    printf("%d.", tot);
    while (k--) {
        prt = (prt - tot * 1.0) * 10.0;
        if (!k) prt = prt + 0.5;
        tot = prt;
        printf("%d", tot);
    } printf("\n");
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    if (k <= 8) doit(db :: dp);
    else doit(flt :: dp);
    return 0;
}