XJOI提高组训练(1)T5方程的解数

最新推荐文章于 2020-08-16 17:44:54 发布

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#hash

本文介绍了一种解决特定形式的多元高次方程整数解计数问题的方法。通过暴力枚举和哈希表技术，该方法能够高效地计算在限定范围内的整数解数量。

方程的解数

题目描述

已知一个n元高次方程：
$k_1x_1^{p_1}+k_2x_2^{p_2}+...+k_nx_n^{p_n}=0$
其中： $x_1,x_2,…,x_n$ 是未知数， $k_1,k_2,…,k_n$ 是系数， $p_1,p_2,…p_n$ 是指数。且方程中的所有数均为整数。
假设未知数 $1≤ xi ≤M$ , $i=1...n$ ，求这个方程的整数解的个数。

输入格式：
文件的第1行包含一个整数n。第2行包含一个整数M。第3行到第n+2行，每行包含两个整数，分别表示ki和pi。两个整数之间用一个空格隔开。第3行的数据对应i=1，第n+2行的数据对应i=n。

输出格式：
文件仅一行，包含一个整数，表示方程的整数解的个数。

样例输入：

3
150
1 2
-1 2
1 2

样例输出：

178

数据范围：
$1<=n<=6$
$1<=M<=150$

时空限制：
1s
65536K

提示：
方程的整数解的个数小于2^31。
★本题中，指数Pi(i=1,2,……,n)均为正整数。

简单的hash

如果 $n<=3$ 直接暴力处理
如果 $n>3$ 则把 $n$ 分成两半，暴力处理出每一半，用hash表维护查询
这里建议使用金牌选手zzy推荐常数： $6974895$

Code

#include <cstdio>
#include <math.h>
#define PSC 6974895
#define N 10
#define M 155

using namespace std;

struct Node {
    int val, num;
}hash[PSC];

int a[N][M], ans, k, p;

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &k, &p);
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            a[i][j] = k * (int)pow(j, p);
    }
    int ans = 0;
    if (n == 1) {
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            if (a[1][i] == 0) ans++;
        }
        printf("%d\n", ans);
        return 0;
    }
    if (n == 2) {
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                if (a[1][i] + a[2][j] == 0) ans++;
            }
        }
        printf("%d\n", ans) ;
        return 0;
    }
    if (n == 3) {
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                for (int k = 1; k <= m; ++k) {
                    if (a[1][i] + a[2][j] + a[3][k] == 0) ans++;
                }
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
        return 0;
    }
    if (n == 4) {
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                int va = a[1][i] + a[2][j];
                int po = abs(va) % PSC;
                while (hash[po].num > 0 && hash[po].val != va) {
                    ++po;
                    if (po >= PSC) po -= PSC;
                }
                hash[po].val = va;
                hash[po].num++;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                int va = a[3][i] + a[4][j];
                int po = abs(va) % PSC;
                while (hash[po].val + va != 0 && hash[po].num > 0) {
                    ++po;
                    if (po >= PSC) po -= PSC;
                }
                ans += hash[po].num;
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
        return 0;
    }
    if (n == 5) {
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                for(int k = 1; k <= m; ++k) {
                    int va = a[1][i] + a[2][j] + a[3][k];
                    int po = abs(va) % PSC;
                    while (hash[po].num > 0 && hash[po].val != va) {
                        ++po;
                        if (po >= PSC) po -= PSC;
                    }
                    hash[po].val = va;
                    hash[po].num++;
                }
            }
        }
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                int va = a[4][i] + a[5][j];
                int po = abs(va) % PSC;
                while (hash[po].val + va != 0 && hash[po].num > 0) {
                    ++po;
                    if (po >= PSC) po -= PSC;
                }
                ans += hash[po].num;
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
        return 0;
    }
    if (n == 6) {
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                for(int k = 1; k <= m; ++k) {
                    int va = a[1][i] + a[2][j] + a[3][k];
                    int po = abs(va) % PSC;
                    while (hash[po].num > 0 && hash[po].val != va) {
                        ++po;
                        if (po >= PSC) po -= PSC;
                    }
                    hash[po].val = va;
                    hash[po].num++;
                }
            }
        }
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                for(int k = 1; k <= m; ++k) {
                    int va = a[4][i] + a[5][j] + a[6][k];
                    int po = abs(va) % PSC;
                    while (hash[po].val + va != 0 && hash[po].num > 0) {
                        ++po;
                        if (po >= PSC) po -= PSC;
                    }
                    ans += hash[po].num;
                }
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
        return 0;
    }
}