利用渐开线三等分任意角的方法和证明

要求：如果所示，以园心为A，半径为AC的园的渐开线作为辅助线，现在要把∠CAB三等分。

操作：利用渐开线三等分任意角∠CAB的尺规作图步骤：

1、以B点做切线，和渐开线相交于E；

2、在BE线段上做三等分点F，即BF=BE/3；

3、以A点为圆心，AF长为半径，相交渐开线于G；

4、以G点为圆心，BF长为半径，相交基圆于D；

5、连接AD，∠CAD即为∠CAB的三等分角。

证明：

1、先证明△BAF与△DAG全等

根据作图，AB=AC=圆A的半径，AF=AG，BF=DG，所以△BAF与△DAG全等。又BE是垂直于AB的圆上点B的切线，所以∠FBA是直角，根据全等三角形的性质，∠ADG=∠FBA也是直角。

2、由渐开线的性质，直线BE的长度 = 园弧 BDC 的长度，直线DG的长度 = 园弧 DC 的长度，又因为DG=BF=BE/3，所以园弧DC的长度 = 园弧BDC 的长度/3，根据圆的弧度和角度的关系，∠CAD即为∠CAB的三等分角

总结：

伽罗瓦所证明的是，在不使用任何辅助线或用到除尺规外其他工具的前提下，不能在有限次操作内，使用尺规作图法三等分任意角，也就是说这三个限制只要有一个不成立，那么不能三等分任意角就不成立。

实际上只要引入渐开线，在有限次操作内，使用尺规作图法N等分任意角都是可行的，而且这种方法也同样可以解决化圆为方的问题。这样，通过引入渐开线就一举解决了三大几何作图问题中的两个“不可能”的难题，并且渐开线在物理上是很容易得到的，它的本质是一端绕基圆展开的线的端点所形成的轨迹，或者简单点说，平时大家用到的卷尺，就是渐开线所对应的物理实体。