一次同余方程（ax%p=b）

最小非负解

求 $ax\equiv b(modp)$的最小非负解。

公式化为：$ax+py=b$

此时用扩展欧几里得算法求解即可。

/*
 *  Author : Jk_Chen
 *    Date : 2019-08-21-10.26.44
 */
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define rep(i,a,b) for(int i=(int)(a);i<=(int)(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(int)(a);i>=(int)(b);i--)
#define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define pill pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define debug(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<'\n';
const LL mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+9;
LL rd(){ LL ans=0; char last=' ',ch=getchar();
    while(!(ch>='0' && ch<='9'))last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}
/*_________________________________________________________head*/

LL Ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(!b){
        y=0,x=1;
        return a;
    }
    LL ans=Ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ans;
}
LL MinNotNeg(LL a,LL b,LL c){
    if(!a&&!b){
        return -(c!=0);
    }
    LL x,y;
    LL G=Ex_gcd(a,b,x,y);
    if(c%G)return -1;
    x*=c/G; y*=c/G;
    b=abs(b/G);
    return (x%b+b)%b;
}

int main(){
    LL a,b,p;
    cin>>a>>b>>p;
    cout<<MinNotNeg(a,p,b)<<endl;
    return 0;
}

---

解的情况

• 显然，当$gcd(a,p)|̸b$时，方程无解。
• 否则，在$[0,p-1]$范围内的解的个数为$gcd(a,p)$。

证明： 因为两个解的步长（差值）为$\frac{p}{gcd(a,p)}$，所以显然个数为$gcd(a,p)$

可以自己手模一下，$4x\equiv 2(mod6)\to (x=2,5),4x\equiv 0(mod6)\to (x=0,3)$

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例题

要输出最小正数解，只需要考虑下0的情况就可以了。

/*
 *  Author : Jk_Chen
 *    Date : 2019-08-21-10.26.44
 */
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define rep(i,a,b) for(int i=(int)(a);i<=(int)(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(int)(a);i>=(int)(b);i--)
#define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define pill pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define debug(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<'\n';
const LL mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+9;
LL rd(){ LL ans=0; char last=' ',ch=getchar();
    while(!(ch>='0' && ch<='9'))last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}
/*_________________________________________________________head*/

LL Ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(!b){
        y=0,x=1;
        return a;
    }
    LL ans=Ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ans;
}
LL MinNotNeg(LL a,LL b,LL c){
    if(!a&&!b){
        return -(c!=0);
    }
    LL x,y;
    LL G=Ex_gcd(a,b,x,y);
    if(c%G)return -1;
    x*=c/G; y*=c/G;
    b=abs(b/G);
    return (x%b+b-1)%b+1;
}

int main(){
    LL a,p;
    cin>>a>>p;
    cout<<MinNotNeg(a,p,1)<<endl;
    return 0;
}