ACM数论基本定理

数论四大定理和其他不能一句话说明的定理写在其他篇章了,这里就不重复说明了,讲一下一些重要的其他定理

#define Y(n) n的因子个数
#define F(n) 斐波那契数列第n项
#define p 某个素数
#define ϕ(n) n的欧拉函数值

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$$\begin{gathered} n=p_1^{q_1}\ast p_2^{q_2}...p_k^{q_k} \\ n的因子数为(q_1+1)\ast (q_2+1)\ast ...\ast (q_k+1) \end{gathered}$$

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$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }=\sum _{i=1}^n\sum _{j|i}$$

证明：
首先，自己尝试写下累加的内容，可以发现两边是一样的。
为什么呢？
对于数X来说，左边式子出现的数量为$\lfloor \frac{n}{X}\rfloor$，右边也是$\lfloor \frac{n}{X}\rfloor$

$$gcd(F(n),F(m))=F(gcd(n,m))$$

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$$gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{gcd(n,m)}-1(a>1,n>0,m>0)$$
$$gcd(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^{gcd(m,n)}-b^{gcd(m,n)}(gcd(a,b)=1)$$

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设$G=gcd(C_n^1,C_n^2,...C_n^{n-1})$

1. n为素数，G=n
2. n非素且有一个素因子p，G=p
3. n有多个素因子，G=1

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$$\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)=\sum _{d|n}d\varphi (\frac{n}{d})$$

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$$(n+1)lcm(C_n^0,C_n^1,...C_n^n)=lcm(1,2,...n+1)$$

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$$((n+1)(n+2)...(n+k))\%k!=0$$

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任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和 (如n=83 = 55+21+5+2)

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不需要互质的情况下，若$b|a$，有$\frac{a}{b}\%c=\frac{a\%(bc)}{b}$

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$n!$中$p$的幂次为${\sum }_i\lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor$