ACM中的组合数学基础

组合数学是数学的一个重要分支，在ACM竞赛中占有极大的比重

常用公式

$C_n^m=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}$ , $A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$

$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$

$C_m^m+C_{m+1}^m+...+C_{m+n}^m=C_{m+n+1}^{m+1}$

$C_n^0+C_{n+1}^1+...+C_{n+k}^k=C_{n+k+1}^k$

$C_{2n}^2=2C_n^2+n^2$

常见情况

• $n$球$m$盒子：$A_{n+m-1}^{n+m-1}$
  球相同：除以$A_n^n$
  盒子相同：除以$A_{m-1}^{m-1}$

• $n$个人站一排：$A_n^n$
  $n$个人站一圈：$A_n^n/n=A_{n-1}^{n-1}$

• $n$男$m$女站一排（相当于$n+m$位置选$n$个）：$C_{n+m}^n$
  $n$男$m$女站一圈：$Polya$计数

• 男生不能站在一起，插空法
  男生必须站在一起，捆绑法

• $k$个元素的无限集取r个的全排列：$K^r$
  $k$个元素的无限集取r个的组合数：$C_{k+r-1}^r$
  $k$个元素的无限集取r个且每个元素至少有一个的组合数：$C_{r-1}^{k-1}$

• 错排公式：$[n!/e+0.5]$

• $(0,0)$走到$(n,m)$：(只能往上或往右)的方案数$C_{n+m}^n$

• $n$个点一圈$m$种颜色，两个相邻点颜色不同：$(-1{)}^n\ast (m-1)+(m-1{)}^n$

• $n$朵花一排, 有$m$种颜色, 涂色不能有相邻花同种颜色, 问恰好使用k种颜色的方案数
  $A_x=C_k^x\ast x\ast (x-1{)}^{n-1}$
  $ans=C_m^k\ast (A_k-A_{k-1}+A_{k-2}...+(-1{)}^k{A}_0)$

• 任意个人，每个人有$\frac{1}{2}$的概率来或不来，来偶数个人的概率为$\frac{1}{2}$，奇数$\frac{1}{2}$

斐波那契数列

• 满足递推方程$F_i=F_{i-1}+F_{i-2},i\ge 3;F_1=F_2=1$，的数列{Fn}\left\{ F_{n} \right\}{Fn​}称为斐波那契数列，$F_n$为斐波那契数。

• 斐波那契数列的通项公式为$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right]$

• $F_n\equiv 276601605(691504013^n-308495997^n)(mod(10^9+9))$

• 

Catalan数

• Catalan数满足递推方程$C_n={\sum }_{k=0}^{n-1}{C}_k{C}_{n-k-1},n\ge 2;C_0=C_1=1$

• 前几个Catalan数为1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862

• Catalan数的通项公式为$C_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

• Catalan数的另一个递推公式为$C_n=\frac{4n-2}{n+1}{C}_{n-1}$

第一类Stirling数

• 多项式${\left[x\right]}_n=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\cdot \cdot \cdot \left(x-n+1\right)$中常数项和$x,x^2,x^3,\cdot \cdot \cdot ,x^n$的系数称为第一类Stirling数，记为$S_1\left(n,k\right),k=0,2,\cdot \cdot \cdot ,n$

• 第一类Stirling数满足$S_1\left(n,n\right)=1;S_1\left(n,0\right)=0;S_1\left(n,n-k\right)={\left(-1\right)}^n{M}_k^n,k=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n-1$

式中$M_k^n$表示{1,2,⋅⋅⋅,n−1}\left\{ 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n - 1 \right\}{1,2,⋅⋅⋅,n−1}中任意k个不同的自然数乘积之和。

• 第一类Stirling数满足递归关系$\{\begin{array}{c}{S}_1\left(n+1,k\right)=S_1\left(n,k-1\right)-n{S}_1\left(n,k\right),n\ge 0,k>0\\ S_1\left(n,n\right)=1,S_1\left(n,0\right)=0\end{array}$

第二类Stirling数

• 多项式${\left[x\right]}_n=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\cdot \cdot \cdot \left(x-n+1\right)$，$x^n={\sum }_{k=0}^n{S}_2\left(n,k\right){\left[x\right]}_k$，称$S_2\left(n,k\right)$为第二类Stirling数。

• 第二类Stirling数满足$S_2\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}{\sum }_{i=0}^{k-1}{\left(-1\right)}^i{C}_k^i{\left(k-i\right)}^n$

• 第二类Stirling数满足递归关系$\{\begin{array}{c}{S}_2\left(n+1,k\right)=S_2\left(n,k-1\right)+k{S}_2\left(n,k\right),n\ge 0,k\ge 1\\ S_2\left(0,0\right)=1,S_2\left(n,0\right)=0\end{array}$

• 第二类Stirling数可以用卷积的方法求，根据（2）得 $S_2(n,k)={\sum }_{i=0}^{k-1}\frac{(-1{)}^i}{i!}\frac{(k-i{)}^n}{(k-i)!}$ ，对 $a_i=\frac{(-1{)}^i}{i!}$ 与 $b_i=\frac{i^n}{i!}$ 卷积即可

• $k^n={\sum }_{i=1}^k{(}_i^k)S(n,i)i!$

分拆数

• 称正整数n分解为r个正整数和的个数为n分解成r的分拆数，记为$P_r\left(n\right)$

• $P_1\left(n\right)$=1；$P_n\left(n\right)$=1；$P_{n-1}\left(n\right)$=1；$P_{n-2}\left(n\right)$=2；$P_{n-3}\left(n\right)$=3

• $P_2\left(n\right)=\lceil \frac{n-1}{2}\rceil ,n\ge 2$

• $P_r\left(n\right)=P_1\left(n-r\right)+P_2\left(n-r\right)+\cdot \cdot \cdot +P_r\left(n-r\right)$

分装问题

将$n$个球放入$r$个盒子称为分装问题

• 相同球和相同盒子，$n\ge r$

  • 没有空盒子：$P_r\left(n-r\right)$
  • 可以有空盒子：${\sum }_{k=1}^r{P}_k\left(n\right)$

• 相同球和不同盒子

  • 没有空盒子：$C_{n-1}^{r-1}$
  • 可以有空盒子：$C_{n+r-1}^n$

• 不同球和相同盒子

  • 没有空盒子：$S_2\left(n,r\right)$
  • 可以有空盒子：${\sum }_{k=1}^r{S}_2\left(n,k\right)$

• 不同球和不同盒子

  • 没有空盒子：$r!S_2\left(n,r\right)$
  • 可以有空盒子：$r^n$