康拓展开(排序次序号)

全排序知道吧,1 2 3 4 5 6是第一种,1 2 3 4 6 5是第二种…

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推导过程

以9的全排列举例：842697513是1-9全排列的第几个？

首先看第一位为8，那么第一位为1-7的全排列都比它小，共有7* 8！个。
在第一位为8的情况下，其次看第二位为4，那么第二位为1-3的全排列都比它小，共有137！个。
在第一位为8，第二位为4的情况下，那么第三位为1的全排列都比它小，共有116！个。
在第一位为8，第二位为4，第三位为2的情况下，那么第四位为1-5的全排列都比它小，这里由于第二位4和第三位2已经确定，第四位的可能取值只能为（1,3,5），共有11135！
在第一位为8，第二位为4，第三位为2，第四位为6的情况下，那么第五位为1-8的全排列都比它小，这里由于第二位为4，第三位为2，第四位为6已经确定，第五位的可能取值只能为（1,3,5,7），共有1* 1* 1* 1* 4* 4！
…

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公式:

a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

什么意思呢?(位置为1~n,原来数的第i位为arr[i]) a[i]表示arr[i+1]到arr[n]中比arr[i]大的数的个数

代码:

static const int FAC[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};   // 阶乘
int cantor(int *a, int n)
{
    int x = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int smaller = 0;  // 在当前位之后小于其的个数
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            if (a[j] < a[i])
                smaller++;
        }
        x += FAC[n - i - 1] * smaller; // 康托展开累加
    }
    return x;  // 康托展开值
}

这个东西有什么用呢?

可以直接使用其原始定义,求一个排序在全排序中的位次

还可以用于hash(例如八数码)

逆康托展开

既然是一个双射，那么当然可以逆展开了

void decantor(int x, int n)
{
    vector<int> v;  // 存放当前可选数
    vector<int> a;  // 所求排列组合
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v.push_back(i);
    for(int i=m;i>=1;i--)
    {
        int r = x % FAC[i-1];
        int t = x / FAC[i-1];
        x = r;
        sort(v.begin(),v.end());// 从小到大排序 
        a.push_back(v[t]);      // 剩余数里第t+1个数为当前位
        v.erase(v.begin()+t);   // 移除选做当前位的数
    }
}